Norm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 So 15.12.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Als Norm bezeichnet man ein Funktion [mm] \IR^{2}\to\IR [/mm] mit folgenden Eigenschaften für alle [mm] x\in\IR^{2} [/mm] und [mm] c\in\IR.:
[/mm]
1. [mm] N(x)\ge [/mm] 0 und N(x) = 0 genau dann, wenn x = (0,0)
2. N(c*x) = |c|*N(x), wobei || der Betrag ist und für x:= [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] gilt c*x:= [mm] (cx_{1},cx_{2})
[/mm]
3. N(x+y) [mm] \le [/mm] N(x) + N(y)
Zu zeigen: [mm] N_{\infty}:\IR^{2}\to\IR, (x1,x2)\to max\{|x_{1}|,|x_{2}|\} [/mm] und [mm] N_{1}: \IR^{2}\to\IR, (x_{1},x_{2})\to |x_{1}| [/mm] + [mm] |x_{2}| [/mm] sind Normen. |
Hallo erstmal!
Ich habe mal wieder ein Problem mit dieser Aufgabe.
Wie kann ich hier zeigen, dass es sich um eine Norm handelt. Muss ich dazu etwa die 3 obigen Bedingungen zeigen und wenn ja, wie? Oder muss ich das irgednwie ganz anders machen. Auf jeden Fall fällt mir kein Ansatz ein und bin mal wieder auf eure Hilfe angewiesen.
Ich hoffe, mir kann weitergeholfen werden!
Ich bedanke mich schonmal für die Mühen und viele Grüße von mir, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 So 15.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Als Norm bezeichnet man ein Funktion [mm]\IR^{2}\to\IR[/mm] mit
> folgenden Eigenschaften für alle [mm]x\in\IR^{2}[/mm] und
> [mm]c\in\IR.:[/mm]
> 1. [mm]N(x)\ge[/mm] 0 und N(x) = 0 genau dann, wenn x = (0,0)
> 2. N(c*x) = |c|*N(x), wobei || der Betrag ist und für x:=
> [mm](x_{1},x_{2})[/mm] gilt c*x:= [mm](cx_{1},cx_{2})[/mm]
> 3. N(x+y) [mm]\le[/mm] N(x) + N(y)
> Zu zeigen: [mm]N_{\infty}:\IR^{2}\to\IR, (x1,x2)\to max\{|x_{1}|,|x_{2}|\}[/mm]
> und [mm]N_{1}: \IR^{2}\to\IR, (x_{1},x_{2})\to |x_{1}|[/mm] +
> [mm]|x_{2}|[/mm] sind Normen.
> Hallo erstmal!
> Ich habe mal wieder ein Problem mit dieser Aufgabe.
> Wie kann ich hier zeigen, dass es sich um eine Norm
> handelt. Muss ich dazu etwa die 3 obigen Bedingungen zeigen
Ja
> und wenn ja, wie?
Nachrechnen !!!!
FRED
> Oder muss ich das irgednwie ganz anders
> machen. Auf jeden Fall fällt mir kein Ansatz ein und bin
> mal wieder auf eure Hilfe angewiesen.
> Ich hoffe, mir kann weitergeholfen werden!
>
> Ich bedanke mich schonmal für die Mühen und viele Grüße
> von mir, Petrit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Hallo.
Ich weiß jetzt zwar was ich machen muss, allerdings weiß ich gerade nicht, wie ich das aufschreiben könnte. Ich weiß, dass ich die 3 Bedinungen untersuchen muss. Die erste ist klar. Bei der zweiten soll das ja soviel heißen, dass wenn ich ein |c*x| = |c|*|x| sein soll und beim dritten muss das ungefähr so aussehen |x1+x2| [mm] \le [/mm] |x1| + |x2| sein. Muss ich dafür jetzt noch alle Fälle unterscheiden, d.h. x1<x2 und x1 [mm] \ge [/mm] x2?
Könnte mir da vielleicht jemand weiterhelfen, wäre echt super. Stehe gerade sowas von voll auf'm Schlauch.
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich zeigs Dir mal für die Norm [mm] N_1 [/mm] (an [mm] N_{\infty} [/mm] versuchst Du Dich dann mal selbst)
Seien [mm] x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2) \in \IR^2 [/mm] und c [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] N_1(c*x)=|c*x_1|+|c*x_2|=|c|*|x_1|+|c|*|x_2|=|c|(|x_1|+|x_2|)=|c|*N_1(x).
[/mm]
[mm] N_1(x+y)=|x_1+y_1|+|x_2+y_2| \le |x_1|+|y_1|+|x_2|+|y_2|=|x_1|+|x_2|+|y_1|+|y_2|=N_1(x)+N_1(y)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank!
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