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Hallo, ich hätte mal wieder eine Frage =P
Diesesmal geht's um das mysteriöse Thema 'Normen'.
Als Definition kenne ich "Eine Norm ist eine Abbildung, die jedem Element eines Vektorraumes eine positive reelle Zahl zuordnet."
Was unterscheidet eine Norm dann von einem Betrag? Ein Betrag macht doch im Prinzip genau dat gleiche.
Was genau macht eine Norm eigentlich und warum gibt es so viele Normen wie die [mm] p_1-Norm, p_2-Norm [/mm] ... [mm] p_\infty-Norm.
[/mm]
Was unterscheidet diese ganzen Normen voneinander?
Diese Normen werden ja häufig als "Einheitskreise" dargestellt, aber ich verstehe nicht wie man auf diese Darstellungen kommt...
Last but not least ist die [mm] p_1-Norm [/mm] quasi für den [mm] \IR, [/mm] die [mm] p_2-Norm [/mm] für den [mm] \IR², p_3-Norm [/mm] für [mm] \IR³ [/mm] etc. oder hat das damit nix zu tun?
LG und frohes Neues Jahr!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Do 01.01.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Hallo, ich hätte mal wieder eine Frage =P
>
> Diesesmal geht's um das mysteriöse Thema 'Normen'.
Okay
> Als Definition kenne ich "Eine Norm ist eine Abbildung, die
> jedem Element eines Vektorraumes eine positive reelle Zahl
> zuordnet."
Diese (etwas unmathematische) Erklärung ist vollkommen richtig. Wenn Du eine mathematische Definition nachlesen möchtest, dann siehe mal bei
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Norm_%28Mathematik%29
> Was unterscheidet eine Norm dann von einem Betrag? Ein
> Betrag macht doch im Prinzip genau dat gleiche.
Nein, gleich sind sie nicht!!! Aber ein Betrag ist eine Norm, da die Betragsfunktion die Normeigenschaften erfüllt (siehe dazu den Link oben).
> Was genau macht eine Norm eigentlich und warum gibt es so
> viele Normen wie die [mm]p_1-Norm, p_2-Norm[/mm] ...
> [mm]p_\infty-Norm.[/mm]
Eine Norm kannst Du Dir wie eine Abstandsfunktion vorstellen. Sie misst z.B.die Länge von Vektoren. Unterschiedliche Normen stellen dabei unterschiedliche Abstandsfunktionen dar. Damit bieten Dir unterschiedliche Normen verschiedene Möglichkeiten einen Abstand zu messen. (Wie Deine [mm] $p_1-,p_2-,\ldots$ [/mm] Normen definiert sind, musst Du mir vielleicht verraten. Das sagt mir nämlich gerade nichts.)
Beachte: Es gibt auch Normen für Funktionenräume. z.B. ist der Raum der stetigen Funktionen in der Regel mit der Supremumsnorm ausgestattet.
> Was unterscheidet diese ganzen Normen voneinander?
Ihre Definition! Die Standardnorm im [mm] $\IR^n$ ($n\in\IN$) [/mm] ist die euklidische Norm. Diese Norm entspricht speziell für $n=1$ dem von Dir oben genannten Betrag. Es gibt aber auch andere Normen für den [mm] $\IR^n$, [/mm] wie z.B. die Maximumsnorm (Supremumsnorm), u.s.w.
Es gibt zudem auch Normen für Zahlenfolgen und Matrizen!
> Diese Normen werden ja häufig als "Einheitskreise"
> dargestellt, aber ich verstehe nicht wie man auf diese
> Darstellungen kommt...
Zunächst einmal beziehen sich die Veranschaulichungen nur auf den [mm] $\IR^2$! [/mm] (siehe dazu wieder den obigen Link unter "Veranschaulichung im Zweidimensionalen"). Um die Bilder zu erhalten betrachtest Du zu der vorgegebenen Norm [mm] $\Vert{\bullet}\Vert$ [/mm] auf dem Raum [mm] $\IR^2$ [/mm] die Menge der Einheitsvektoren
[mm] $\{x\in\IR^2\mid \Vert{x}\Vert=1\}$
[/mm]
Die von Dir ersehnten Abbildungen sind sozusagen gerade diese Menge, d.h. alle Punkte [mm] $x\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\Vert{x}\Vert=1$. [/mm] Ist die Norm gerade die eukildische Norm im [mm] $\IR^2$, [/mm] so erhälst Du ein einen Kreis um den Ursprung im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Radius 1 (siehe dazu den obigen Link).
Frage: Was verrät Dir dieses Bild?
Antwort: Diejenigen Vektoren [mm] $x\in\IR^2$, [/mm] für die [mm] $\Vert{x}\Vert<1$ [/mm] gilt, liegen im Inneren dieses Kreises. Umgekehrt liegen diejenigen Vektoren [mm] $x\in\IR^2$, [/mm] für die [mm] $\Vert{x}\Vert>1$ [/mm] gilt, liegen außerhalb dieses Kreises.
> Last but not least ist die [mm]p_1-Norm[/mm] quasi für den [mm]\IR,[/mm] die
> [mm]p_2-Norm[/mm] für den [mm]\IR², p_3-Norm[/mm] für [mm]\IR³[/mm] etc. oder hat das
> damit nix zu tun?
Liefer mir mal die Definition, die Du vorliegen hast. Dann verrate ich es Dir.
> LG und frohes Neues Jahr!
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Die p-Normen haben wir im Skript so definiert:
Für p [mm] \in [1,\infty[ [/mm] setzt man
[mm] ||x||_p=(\summe_{j=1}^{n}|x_j|²)^\bruch{1}{p}
[/mm]
Setzt man p=2 erhält man dadurch ja die Euklidische Norm.
Entspricht die euklidische Norm eigtl. der Abstandsbestimmung von Punkt-Punkt in der Linearen Algebra?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Madde-Freund!
> Entspricht die euklidische Norm eigtl. der
> Abstandsbestimmung von Punkt-Punkt in der Linearen Algebra?
Kurze und knappe Antwort: ja!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 01.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> Die p-Normen haben wir im Skript so definiert:
> Für p [mm]\in [1,\infty[[/mm] setzt man
> [mm]||x||_p=(\summe_{j=1}^{n}|x_j|²)^\bruch{1}{p}[/mm]
Du meinst wohl [mm] $$\parallel x\parallel_p:=\left(\sum_{j=1}^n|x_j|^p\right)^\frac{1}{p}$$
[/mm]
> Setzt man p=2 erhält man dadurch ja die Euklidische Norm.
Eine Norm hat (entgegen anders lautender Aussagen dieses Threads) erstmal nichts mit einem Abstand zu tun. Eine Norm ordnet einem Punkt einer Menge eine reelle Zahl zu (mit gewissen weiteren Eigenschaften). Ist die Menge z.B. ein Vektorraum, die Punkte also Vektoren, so wird die Norm eines Vektors gern als dessen Länge interpretiert. Einen Abstandsbegriff erhält man erst durch Einführen einer Metrik, also einer Abbildung die zwei Punkten einer Menge eine reelle Zahl (deren "Abstand") zuordnet. Auf Vektorräumen kann man aus jeder Norm [mm] $\parallel\cdot\parallel$ [/mm] auf sehr naheliegende Weise eine Metrik d durch [mm] $(x,y)\mapsto\parallel x-y\parallel$ [/mm] konstruieren. Diese heißt die von [mm] $\parallel\cdot\parallel$ [/mm] induzierte Metrik.
Nun zu deiner eigentlichen Frage:
> Entspricht die euklidische Norm eigtl. der
> Abstandsbestimmung von Punkt-Punkt in der Linearen Algebra?
Die von der 2-Norm induzierte Metrik ist die "normale Abstandsbestimmung von Punkt-Punkt".
Gruß, Robert
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> > Diese Normen werden ja häufig als "Einheitskreise"
> > dargestellt, aber ich verstehe nicht wie man auf diese
> > Darstellungen kommt...
>
> Zunächst einmal beziehen sich die Veranschaulichungen nur
> auf den [mm]\IR^2[/mm]! (siehe dazu wieder den obigen Link unter
> "Veranschaulichung im Zweidimensionalen"). Um die Bilder zu
> erhalten betrachtest Du zu der vorgegebenen Norm
> [mm]\Vert{\bullet}\Vert[/mm] auf dem Raum [mm]\IR^2[/mm] die Menge der
> Einheitsvektoren
>
> [mm]\{x\in\IR^2\mid \Vert{x}\Vert=1\}[/mm]
>
> Die von Dir ersehnten Abbildungen sind sozusagen gerade
> diese Menge, d.h. alle Punkte [mm]x\in\IR^2[/mm] mit
> [mm]\Vert{x}\Vert=1[/mm]. Ist die Norm gerade die eukildische Norm
> im [mm]\IR^2[/mm], so erhälst Du ein einen Kreis um den Ursprung im
> [mm]\IR^2[/mm] mit Radius 1 (siehe dazu den obigen Link).
Wenn ich jetzt den Kreis für die euklidische Norm zeichnen will, wie finde ich dann die Vektoren mit ||x||=1 eigentlich? Wäre nett, wenn du mir ein Beispiel geben könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Fr 02.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wenn ich jetzt den Kreis für die euklidische Norm zeichnen
> will, wie finde ich dann die Vektoren mit ||x||=1
> eigentlich? Wäre nett, wenn du mir ein Beispiel geben
> könntest.
[mm]S^1=\{x\in\IR^2\mid |x|=1\}=\{(x,y)\in\IR^2\mid x^2+y^2=1\}[/mm]
Was soll man noch weiter dazu sagen?
Gruß, Robert
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