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| Aufgabe | Gibt es eine Norm d(x,y)=|x-y| für alle x,y [mm] \in \IR [/mm]
(|.| euklidische Norm) |
Hi zusammen,
Ich habe diese Aufg. zu lösen. Ich weiss auch, dass es keine solche Norm geben sollte, aber ich finde das Gegenbeispiel einfach nicht!! *aahh*
Also gehe ich recht in der Annahme, dass man die Metrikaxiome prüfen soll? Da sehe ich keinen Verstoss
d(x,y)=0 <=> x=y
d(x,y)=d(y,x)
d(x,z)=d(x,y)+d(y,z)
Stimmt doch alles so weit. Nun wie kann ich das sonst beweisen? oder bin ich ganz falsch gewickelt?
Bin sehr froh um Tipps, vielen Dank
Ersti
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Hallo Ersti,
bei dem dritten Kriterium muss doch bestimmt ein [mm] \le [/mm] stehen und kein =, oder nicht?
Das Ding $d(x,y)=|x-y|$ ist auf jeden Fall eine Metrik
Die ersten beiden Kriterien sind ja offensichtlich erfüllt,
die Dreiecksungleichung der Metrik gilt auch:
[mm] $d(x,z)=|x-z|=|x-y+y-z|\le [/mm] |x-y|+|y-z|=d(x,y)+d(y,z)$
LG
schachuzipus
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!!
ja klar, sorry.. Das war natürlich die Dreiecksungleichung.. *upsi*
Na ja, eben auf dieses Resultat würde ich auch kommen.. Und die Fragestellung, fragt nach einer Norm..
Ist es da richtig zu zeigen, dass es eine Metrik ist oder habe ich da was falsch verstanden?
Der etwas verwirrte Ersti..
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Puh,
genau das wollte ich auch schreiben, aber Jan kam mir zuvor 
LG
schachuzipus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Jo hallo,
wie Jan schon sagte, musst du noch das 2te Kriterium zeigen,
aber $|x\cdot{}y}|=|x|\cdot{}|y|$ gilt ja offensichtlich.
Also ist || ne Norm - die Betragsnorm.
Ich verstehe aber totzdem die Aufgabe nicht so ganz ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Sollst du die Normkriterien mit der Definition des Betrages explizit zeigen?
Naja- musste mal zusammenfrickeln
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Do 10.05.2007 | | Autor: | JanSu |
Hier wird doch verlangt nachzuprüfen, ob eine Norm vorliegt und nicht ob eine Metrik vorliegt? Natürlich hängen die Begriffe eng zusammen, aber gleich sind sie nicht.
Im Buch Analysis 1 von Ehrard Behrends wird eine Norm so definiert:
X sei ein Vektorraum, entweder [mm] \IR^{n} [/mm] oder [mm] \IC^{n}, [/mm] ||.|| sei eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
|| . || : X [mm] \to \IR [/mm]
N1: ||x|| [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] X und ||x|| genau dann, wenn x=0 ist.
N2: ||ax||= |a| * ||x|| für alle a [mm] \in \IR [/mm] oder [mm] \IC, [/mm] x [mm] \in [/mm] X.
N3: ||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y|| für alle x,y in [mm] \X. [/mm]
Hier fehlt also noch N2.
(Sollte ich groben Unfug schreiben, bitte ich um Berichtigung. )
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ok, ja da habe ich wohl etwas verwechselt.. Danke vielmals!!
Nun sieht es mir aber immer noch stark danach aus, als dass eine Norm bestehen würde.. Nicht? Sehe kein Gegenbeispiel welches sich aufdrängen würde..
Liebste Grüsse Ersti
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