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| Aufgabe | Bereche die Reihenwerte von :
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k-1}}{(4i)^{k+1}}
[/mm]
[mm] b)\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{k+3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1})
[/mm]
[mm] c)\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k^2 -1} [/mm] |
Hi,
zur a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k-1}}{(4i)^{k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k}2^{-1}}{(4i)^{k}4i}= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k}}{(4i)^{k}8i}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{8i}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2}{(4i)})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{8i}\bruch{1}{1 - \bruch{1}{4i}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8i -4}
[/mm]
irgendwo ein Fehler?
[mm] b)\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{k+3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1}) [/mm] => für ein [mm] n\in [/mm] N gilt: [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k+3} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=2}^{n+2} \bruch{1}{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+2}+\bruch{1}{n+3}-(1+\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] =>\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{k+3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1}) [/mm] = lim [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{k+3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1}) [/mm]
=lim [mm] \bruch{1}{n+2}+\bruch{1}{n+3}-(1+\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}
[/mm]
irgendwas falsch?
ja und bei der c) brauche ich ne idee...
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 04.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bernd!
> zur a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k-1}}{(4i)^{k+1}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k}2^{-1}}{(4i)^{k}4i}= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k}}{(4i)^{k}8i}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{8i}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2}{(4i)})^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{8i}\bruch{1}{1 - \bruch{1}{4i}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{8i -4}[/mm]
Beim Ergebnis habe ich dasselbe heraus. Beim vorletzen Bruch hast Du einen Tippfehler drin.
Gruß
Loddar
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Hi,
stimmt das dann so wenn i die imaginäre Einheit ist einer Komplexen Zahl? weil dann steht sie ja unterm Bruchstrich, so eine komplexe Zahl habe ich noch nie gesehen?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Ja, das stimmt so. Das kann man nun noch umformen, indem Du den Bruch mit dem Komplex-Konjugierten des Nenners erweiterst.
Gruß
Loddar
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Hey,
[mm] \bruch{1 (-8i-4)}{(8i-4)(-8i-4)} [/mm] = [mm] \bruch{-8i-4}{64+32i+16-32i}=-\bruch{1}{20} [/mm] - [mm] \bruch{1}{10} [/mm] i
so passt dann,oder?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 05.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Di 04.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
Wende im Nenner eine 3. binomische Formel an und unterziehe den Bruch einer  Partialbruchzerlegung.
Gruß
Loddar
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Hi,
ok hab mir den Link durchgelesen, aber steh immer noch auf dem Schlauch.
Ich weiß das [mm] 4k^2 [/mm] - 1 = (2k -1)(2k + 1) sind, weiter komme ich jedoch nicht..bzw, sehe nicht wie es mit bei der Reihenwertberechnung helfen soll?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
[mm] $$\bruch{1}{4k^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(2k+1)*(2k-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{2k+1}+\bruch{B}{2k-1}$$
[/mm]
Nun die Koeffizienten $A_$ und $B_$ bestimmen ...
Gruß
Loddar
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Hi,
dazu muss ich doch nach zb nach A umformen und dann in die Gleichung einsetzen um anschließend nach B zu lösen? Frage nur, weil ich hier dann Formeln kriege, bei denen ich nicht sicher bin, ob die zu was führen?
B= [mm] \bruch{2k - 1}{(2k + 1 )(2k - 1)} [/mm] - [mm] (\bruch{2k +1}{(2k + 1 )(2k - 1)} [/mm] - [mm] \bruch{B}{2k - 1}) \bruch{1}{2k + 1}... [/mm] = [mm] \bruch{2k^2 - k - 1}{(2k+1)(2k^2 - 1)}
[/mm]
...?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Nein, fasse meine beiden Brüche zusammen (gleichnamig machen) und führe im Zähler einen Koeffizientenvergleich mit $1 \ = \ 0*k+1$ durch.
Gruß
Loddar
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Hi,
das kann nicht das sein, was du meinst, oder:
[mm] \bruch{A2k -A +2Bk +B}{4k^2 - 1}
[/mm]
vergleich von Koeff. [mm] k^1: [/mm] A2k = B2k => A=B
vergleich von Koeff. [mm] k^0: [/mm] -A = B
?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
> das kann nicht das sein, was du meinst, oder:
> [mm]\bruch{A2k -A +2Bk +B}{4k^2 - 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Fasse im Zähler nun zusammen:
$$k*(2A+2B) + (-A+B)$$
> vergleich von Koeff.
> [mm]k^1:[/mm] A2k = B2k => A=B
> vergleich von Koeff. [mm]k^0:[/mm] -A = B
Wie kommst Du darauf? Das sollst Du nun mit dem ursprünglichen Zähler des Bruches vergleichen: $1 \ = \ [mm] \red{0}*k+\blue{1}$ [/mm] .
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssysetm:
[mm] $$\red{2A+2B} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$$
[/mm]
[mm] $$\blue{-A+B} [/mm] \ = \ [mm] \blue{1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hi,
woraus ich sehe:
A= -0,5 , B=0,5.
=> für ein n [mm] \N:
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{4k^2 -1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{-0,5}{2k + 1} [/mm] + [mm] \bruch{0,5}{2k - 1} [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{0,5}{2k -1} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{0,5}{2k + 1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{0,5}{2k + 1} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{0,5}{2k +1} [/mm] = 0,5 - [mm] \bruch{0,5}{2n + 1} [/mm] ----> 0,5 für n---> [mm] \infty
[/mm]
Snafu
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Hallo,
richtig.
Gruß v. Angela
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Hallo SnafuBernd,
wenn mich meine blutunterlaufenen Augen nicht täuschen, fehlt noch eine Antwort zu (b):
> Bereche die Reihenwerte von :
> [mm]b)\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{k+3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k+1})[/mm]
> => für ein [mm]n\in[/mm] N gilt: [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k+3}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=2}^{n+2} \bruch{1}{k+1}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{\red{\infty}}\bruch{1}{k+1}[/mm]
Vertippt, da steht natürlich [mm] $\red{n}$ [/mm] 
> [mm]=\bruch{1}{n+2}+\bruch{1}{n+3}-(1+\bruch{1}{2})[/mm]
> [mm]=>\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{k+3}[/mm] -[mm]\bruch{1}{k+1})[/mm] = lim [mm]\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{k+3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k+1})[/mm]
> =lim [mm]\bruch{1}{n+2}+\bruch{1}{n+3}-(1+\bruch{1}{2})[/mm] =
> [mm]-\bruch{3}{2}[/mm]
> irgendwas falsch?
Nein, alles bestens!
> Snafu
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mi 05.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Oh ja, stimmt. Danke.
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