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Hallo,
ich habe die Funktion
[mm] f(x,y)=e^{-x^2-y^2}
[/mm]
Nebenbedingung: [mm] 2x^2+y^2=1
[/mm]
F(x,y, [mm] \lambda )=e^{-x^2-y^2}+ \lambda (2x^2+y^2-1)
[/mm]
Ableitung nach [mm] x:-e^{-x^2-y^2}*2x+ \lambda [/mm] 4x
nach y analog: [mm] -2ye^{-x^2-y^2}*2x+ [/mm] 2 [mm] \lambda [/mm] y
und nach [mm] \lambda [/mm] bloeibt eben die Nebenbedingung [mm] 2x^2+y^2-1
[/mm]
Setze ich nun alle gleich 0 um an die stationären Punkte zu kommen, habe ich aus der Ableitung nach x:
[mm] 2x(-e^{-x^2-y^2}+ \lambda [/mm] 2)=0, also x=0 oder der Ausdruck in der Klammer =0
Das gleiche kann ich für die ABl. nach y machen, also auch y=0 oder der Ausdruck in der Klammer, wenn ich 2y ausklammere.
Nun kann ich mir nochmal die Nebenbedingung ansehen:
[mm] 2x^2+y^2=1. [/mm] Ich müsste noch auf +/-1 für y kommen und auf +/- [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] für x, aber ich komme nicht mehr auf die Ergebnisse.
Bei so vielen Gleichungen verliere ich immer total den Überblick und weiß nicht in welche Gleichung ich als nächstes was einsetzen soll.
Setze ich nun einfach x=0 oder y=0 hier ein? Warum muss ich dann nicht mehr mit den jeweils übriggebliebenen Ausdrücken aus den Klammern weiterrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
> nach y analog: [mm]-2ye^{-x^2-y^2}*2x+[/mm] 2 [mm]\lambda[/mm] y
Hier hat der Faktor $* \ 2x$ nichts verloren!
Ansonsten gehe systematisch vor:
Wenn Du aus der 1. Gleichung z.B. $x \ = \ 0$ erhältst, setze dies in die anderen Gleichungen ein und berechne die zugehörigen y- bzw. [mm] $\lambda$-Werte.
[/mm]
Gruß
Loddar
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Wie wäre das dann bei dieser FUnktion?
F(x,y, [mm] \lambda)=3x^2+2y^2-4y+1+ \lambda (x^2+y^2-16)
[/mm]
nach x abgeleitet: 6x+ [mm] \lambda [/mm] 2x =0
nach y: 4y-4+ [mm] \lambda [/mm] 2y=0
und nach [mm] \lambda [/mm] bleibt die Nebenbedingung wieder [mm] x^2+y^2-16=0
[/mm]
aus Gleichung 1: x(6+2 [mm] \lambda)=0, [/mm] also x=0
in die Nebenbedingung: => [mm] y^2=16, [/mm] also y=+/-4
Und sollte ich nun tun? Eigentlich doch x=0 in die 2. Gleichung einsetzen, aber es gibt hier kein x, also y. Dafür bekomme ich
[mm] \lambda [/mm] = -3/2, setze ich das nun in die ABleitung nach x ein? Dann bekomme ich aber 3x=0, also wieder x=0.
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Hallo Englein89,
> Wie wäre das dann bei dieser FUnktion?
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> F(x,y, [mm]\lambda)=3x^2+2y^2-4y+1+ \lambda (x^2+y^2-16)[/mm]
>
> nach x abgeleitet: 6x+ [mm]\lambda[/mm] 2x =0
> nach y: 4y-4+ [mm]\lambda[/mm] 2y=0
> und nach [mm]\lambda[/mm] bleibt die Nebenbedingung wieder
> [mm]x^2+y^2-16=0[/mm]
>
> aus Gleichung 1: x(6+2 [mm]\lambda)=0,[/mm] also x=0
Hieraus folgt: [mm]\Rightarrow x=0 \ \red{\vee \ 6+2\lambda=0}[/mm]
> in die Nebenbedingung: => [mm]y^2=16,[/mm] also y=+/-4
>
> Und sollte ich nun tun? Eigentlich doch x=0 in die 2.
> Gleichung einsetzen, aber es gibt hier kein x, also y.
> Dafür bekomme ich
>
> [mm]\lambda[/mm] = -3/2, setze ich das nun in die ABleitung nach x
> ein? Dann bekomme ich aber 3x=0, also wieder x=0.
>
Damit hast Du den Fall x=0 behandelt.
Bleibt noch der Fall [mm]6+2\lambda=0[/mm].
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ok, Danke!
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