Noch mal Höldersche Ungleichun < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 So 12.07.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Sei - $ [mm] \infty [/mm] $ < a < b < $ [mm] \infty, [/mm] $ k $ [mm] \in \mathcal{L}^2((a,b)^2) [/mm] $ und
Kf(x) := $ [mm] \int_a^b [/mm] $ k(x,y)f(y) dy $ [mm] \forall [/mm] $ a < x < b $ [mm] \forall [/mm] $ f $ [mm] \in \mathcal{L^2}(a,b) [/mm] $
Gezeigt wurde vorher:
$ [mm] |Kf(x)|^2 \le \int^b_a|k(x,y)|^2dy\int^b_a|f(y)|^2 [/mm] $ dy $ [mm] \forall [/mm] $ a < x < b $ [mm] \forall [/mm] $ f $ [mm] \in \mathcal{L}^2(a,b) [/mm] $
Zeigen Sie, dass
K[f]:= [Kf] [mm] \forall [/mm] f [mm] \in \mathcal{L}^2(a,b) [/mm] eine lineare stetige Abbildung [mm] K:L^2(a,b) [/mm] --> [mm] L^2(a,b) [/mm] definiert |
Hallo!
Für die Aufgabe habe ich die Lösung, verstehe sie aber nicht, sie sagt zur Stetigkeit:
[mm] ||K[f]||_{L^2}^2 [/mm] := [mm] \int^b_a|Kf|^2dx [/mm] = [mm] \int^b_a|\int^b_a lk(x.y)f(y)dy|^2 [/mm] dx
[mm] \le \int^b_a |f(y)|^2 [/mm] dy [mm] \int^b_a\int^b_a [/mm] |K(x,y)|^2dydx nach Hölder.
So, jetzt verstehe ich allerdings nicht, was ich genau wählen muss, um diese Zeile selbst zu bekommen. Also das mit dem Doppelintegral finde ich mehr als verwirrend. Kann jemand versuchen, mir zu sagen, wie ich f, g und p und q wählen muss (Das sind die Bezeichnungen aus der nachfolgenden Definition)
Ich kopiere noch einmal unser Wissen aus der Vorlesung
Für 1 $ [mm] \le [/mm] $ p < $ [mm] \infty [/mm] $ ist
$ [mm] ||f||_p:=(\int |f|^p d\mu)^{1/p} [/mm] $
$ [mm] \mathcal{L}_p(\mu) [/mm] $ := $ [mm] \{ f : X \to \IK : f \mathcal{A}-\mathcal{B}(\IK)-\mbox{messbar und } ||f||_p < \infty \} [/mm] $ =: $ [mm] \mathcal{L}^p(\mu) [/mm] $
Satz:
Sei 1 < p < $ [mm] \infty, [/mm] $ 1 < q < $ [mm] \infty [/mm] $ : 1/q +1/p = 1. dann gilt die Hödersche Ungleichung
$ [mm] |fg|_1 \le ||f||_p ||g||_q [/mm] $
Liebe Grüße
valaida
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:07 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo valaida!
> Sei - [mm]\infty[/mm] < a < b < [mm]\infty,[/mm] k [mm]\in \mathcal{L}^2((a,b)^2)[/mm]
> und
> Kf(x) := [mm]\int_a^b[/mm] k(x,y)f(y) dy [mm]\forall[/mm] a < x < b [mm]\forall[/mm]
> f [mm]\in \mathcal{L^2}(a,b)[/mm]
>
> Gezeigt wurde vorher:
>
> [mm]|Kf(x)|^2 \le \int^b_a|k(x,y)|^2dy\int^b_a|f(y)|^2[/mm] dy
> [mm]\forall[/mm] a < x < b [mm]\forall[/mm] f [mm]\in \mathcal{L}^2(a,b)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass
>
> K[f]:= [Kf] [mm]\forall[/mm] f [mm]\in\mathcal{L}^2(a,b)[/mm] eine lineare
> stetige Abbildung [mm]K:L^2(a,b)[/mm] --> [mm]L^2(a,b)[/mm] definiert
>
> Hallo!
>
> Für die Aufgabe habe ich die Lösung, verstehe sie aber
> nicht, sie sagt zur Stetigkeit:
>
> [mm]||K[f]||_{L^2}^2[/mm] := [mm]\int^b_a|Kf|^2dx[/mm] = [mm]\int^b_a|\int^b_a lk(x.y)f(y)dy|^2[/mm] dx
> [mm]\le \int^b_a |f(y)|^2[/mm] dy [mm]\int^b_a\int^b_a[/mm] |K(x,y)|^2dydx
> nach Hölder.
Na, dieses [mm] $\le$ [/mm] ist doch exakt die bereits (mit Hoelder) gezeichnte Ungleichung, auf die auf beiden Seiten das Integral angewendet wird, und dann auf der rechten Seite [mm] $\int_a^b |f(y)|^2 [/mm] dy$ aus dem Integral herausgezogen wird!
Nochmal ganz langsam:
du hast gezeigt $|K [mm] f(x)|^2 \le \int_a^b [/mm] |k(x, [mm] y)|^2 [/mm] dy [mm] \cdot \int_a^b |f(y)|^2 [/mm] dy$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] (a, b)$. Wenn man also auf beiden Seiten integriert (von $a$ nach $b$), erhaelt man [mm] $\int_a^b [/mm] |K [mm] f(x)|^2 [/mm] dx [mm] \le \int_a^b \left( \int_a^b |k(x, y)|^2 dy \cdot \int_a^b |f(y)|^2 dy \right) [/mm] dx$.
Die linke Seite passt ja schonmal. Auf der Rechten ist der Faktor [mm] $\int_a^b |f(y)|^2 [/mm] dy$ im Integranden nicht von $x$ abhaengig, kann also rausgezogen werden: [mm] $\int_a^b |f(y)|^2 [/mm] dy [mm] \cdot \left( \int_a^b \int_a^b |k(x, y)|^2 dy dx \right)$. [/mm] Aber das ist genau das, was du haben wolltest.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mi 15.07.2009 | | Autor: | valaida |
Hallo felixf
> Na, dieses [mm]\le[/mm] ist doch exakt die bereits (mit Hoelder)
> gezeichnte Ungleichung, auf die auf beiden Seiten das
> Integral angewendet wird, und dann auf der rechten Seite
> [mm]\int_a^b |f(y)|^2 dy[/mm] aus dem Integral herausgezogen wird!
>
> Nochmal ganz langsam:
>
> du hast gezeigt [mm]|K f(x)|^2 \le \int_a^b |k(x, y)|^2 dy \cdot \int_a^b |f(y)|^2 dy[/mm]
> fuer alle [mm]x \in (a, b)[/mm]. Wenn man also auf beiden Seiten
> integriert (von [mm]a[/mm] nach [mm]b[/mm]), erhaelt man [mm]\int_a^b |K f(x)|^2 dx \le \int_a^b \left( \int_a^b |k(x, y)|^2 dy \cdot \int_a^b |f(y)|^2 dy \right) dx[/mm].
>
> Die linke Seite passt ja schonmal. Auf der Rechten ist der
> Faktor [mm]\int_a^b |f(y)|^2 dy[/mm] im Integranden nicht von [mm]x[/mm]
> abhaengig, kann also rausgezogen werden: [mm]\int_a^b |f(y)|^2 dy \cdot \left( \int_a^b \int_a^b |k(x, y)|^2 dy dx \right)[/mm].
> Aber das ist genau das, was du haben wolltest.
Riesig großen Dank für deine tolle ausführliche Erklärung! Ich habe da bis jetzt gar nicht durchgeblickt und warum vollkommen überfordert, aber nun komme ich klar. Danke!!!
Liebe Grüße
valaida
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