Noch eine L.U. Aufgabe mit LSG < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 23.05.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo an Alle,
ich dachte vielleicht könnte jemand drüber schauen.. 
Gegeben seinen die Vektoren
[mm] $v_1 [/mm] = (1,0,-4,3,8)$
[mm] $v_2 [/mm] = (-5,0,1,7,17)$
[mm] $v_3 [/mm] = (1,0,9,2,-6)$
[mm] $v_4 [/mm] = (-1,0,24,16,7)$ des [mm] $\IQ^5$.
[/mm]
Teil A)
Sind [mm] $v_1, v_2, v_3, v_4$ [/mm] linear unabhängig?
Meine Lösung zu Teil A)
[mm] $\lambda_1 \cdot v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot v_3 [/mm] + [mm] \lambda_4 \cdot v_4 [/mm] = 0$
[mm]
\gdw \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 7 \\ 17 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 9 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} + \lambda_4 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 24 \\ 16 \\ 7 \end{pmatrix} = 0
[/mm]
[mm]
\gdw \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ 0 \\ -4 \lambda_1 \\ 3 \lambda_1 \\ 8 \lambda_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5\lambda_2 \\ 0 \\ \lambda_2 \\ 7\lambda_2 \\ 17\lambda_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda_3 \\ 0 \\ 9\lambda_3 \\ 2\lambda_3 \\ -6\lambda_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\lambda_4 \\ 0 \\ 24\lambda_4 \\ 16\lambda_4 \\ 7\lambda_4 \end{pmatrix} = 0
[/mm]
[mm]
\begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 9 & 24 \\ 3 & 7 & 2 & 16 \\ 8 & 17 & -6 & 7 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ -4 & 1 & 9 & 24 \\ 3 & 7 & 2 & 16 \\ 8 & 17 & -6 & 7 \end {pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 22 & -1 & 19 \\ 0 & -19 & 13 & 20 \\ 0 & 57 & -14 & 15 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 22 & -1 & 19 \\ 0 & -57 & 39 & 60 \\ 0 & 57 & -14 & 15 \end{pmatrix} \\
= \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 22 & -1 & 19 \\ 0 & 0 & 25 & 75 \\ 0 & 57 & -14 & 15 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 22 & -1 & 19 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 57 & -14 & 15 \end{pmatrix}
[/mm]
(1) [mm] $\lambda_1 [/mm] - [mm] 5\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] - [mm] \lambda_4 [/mm] = 0$
(2) [mm] $22\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda_3 [/mm] + [mm] 19\lambda_4 [/mm] = 0$
(3) [mm] $\lambda_3 [/mm] + [mm] 3\lambda_4 [/mm] = 0$
(4) [mm] $57\lambda_2 [/mm] - [mm] 14\lambda_3 +15\lambda_4 [/mm] = 0$
(3) [mm] $\lambda_3 [/mm] + [mm] 3\lambda_4 [/mm] = 0 $
$ [mm] \Rightarrow \lambda_3 [/mm] = [mm] -3\lambda_4 [/mm] $
[mm] $\lambda_3 [/mm] = [mm] -3\lambda_4 [/mm] $ setze ich in (2) ein:
(2) [mm] $22\lambda_2 +3\lambda_4 [/mm] + [mm] 19\lambda_4 [/mm] = 0$
$ [mm] \gdw 22\lambda_2 [/mm] + [mm] 22\lambda_4= [/mm] 0$
$ [mm] \gdw \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_4= [/mm] 0$
$ [mm] \gdw \lambda_2 [/mm] = [mm] -\lambda_4$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \lambda_2 [/mm] = [mm] -\lambda_4 [/mm] $
$ [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] -\lambda_4$, $\lambda_3 [/mm] = [mm] -3\lambda_4$ [/mm] in (1) einsetzen:
(1) [mm] $\lambda_1 [/mm] - [mm] 5(-\lambda_4) -3\lambda_4 [/mm] - [mm] \lambda_4 [/mm] = 0$
$ [mm] \gdw \lambda_1 [/mm] + [mm] 5\lambda_4 -3\lambda_4 [/mm] - [mm] \lambda_4 [/mm] = 0$
$ [mm] \gdw \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_4 [/mm] = 0$
$ [mm] \gdw \lambda_1 [/mm] = - [mm] \lambda_4$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = - [mm] \lambda_4 [/mm] $
Ich setze [mm] $\lambda_4 [/mm] = t$, dann folgt:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] -\lambda_4 [/mm] = -t$
[mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] -\lambda_4 [/mm] = -t$
[mm] $\lambda_3 [/mm] = [mm] -3\lambda_4 [/mm] = -3t$
[mm] $\lambda_4 [/mm] = t$
$ L = [mm] \{ (-t,-t,-3t,t\} [/mm] $
Die Vektoren sind damit nicht abhängig, weil aus
[mm] $\lambda_1 \cdot v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot v_3 [/mm] + [mm] \lambda_4 \cdot v_4 [/mm] = 0$
folgt nicht [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> ich dachte vielleicht könnte jemand drüber schauen..
>
na gut
> Gegeben seinen die Vektoren
> [mm] $v_1 [/mm] = (1,0,-4,3,8)$
> [mm] $v_2 [/mm] = (-5,0,1,7,17)$
> [mm] $v_3 [/mm] = (1,0,9,2,-6)$
> [mm] $v_4 [/mm] = (-1,0,24,16,7)$ des [mm] $\IQ^5$.
[/mm]
>
> Teil A)
>
> Sind [mm] $v_1, v_2, v_3, v_4$ [/mm] linear unabhängig?
>
> Meine Lösung zu Teil A)
>
> [mm] $\lambda_1 \cdot v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm]
> [mm] \cdot v_3 [/mm] + [mm] \lambda_4 \cdot v_4 [/mm] = 0$
>
> [mm]
> \gdw \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 7 \\ 17 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 9 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} + \lambda_4 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 24 \\ 16 \\ 7 \end{pmatrix} = 0
> [/mm]
>
>
> [mm]
> \gdw \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ 0 \\ -4 \lambda_1 \\ 3 \lambda_1 \\ 8 \lambda_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5\lambda_2 \\ 0 \\ \lambda_2 \\ 7\lambda_2 \\ 17\lambda_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda_3 \\ 0 \\ 9\lambda_3 \\ 2\lambda_3 \\ -6\lambda_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\lambda_4 \\ 0 \\ 24\lambda_4 \\ 16\lambda_4 \\ 7\lambda_4 \end{pmatrix} = 0
> [/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> $\begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 9 & 24 \\ 3 & 7 & 2 & 16 \\ 8 & 17 & -6 & 7 \end{pmatrix}$
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $ = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ -4 & 1 & 9 & 24 \\ 3 & 7 & 2 & 16 \\ 8 & 17 & -6 & 7 \end {pmatrix} $
, hier hast du eine Nullzeile gestrichen, okay. Besser wäre aber vielleicht, sie an die Stelle der letzten Zeile zu tauschen.
Oder hattet Ihr schon Determinanten? Die Lösbarkeit des LGS kann ja jetzt mit einer Determinante bestimmt werden, da die Koeffizientenmatrix quadratisch (geworden) ist.
Aber das reduziert die Rechenarbeit in diesem Fall nicht, da die Koeffizientenmatrix keine Nullen enthält, und sich so eine Berechnung mittels Determinanten nicht anbietet. Aber man könnte versuchen, ein paar Nullen in der Determinante durch geschicktest addieren von Spalten-/Zeilenvielfachen zu erzeugen... Aber lassen wir das besser... 
> $ = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 22 & -1 & 19 \\ 0 & -19 & 13 & 20 \\ 0 & 57 & -14 & 15 \end{pmatrix} $
Das verstehe ich nicht, vor allem die zweite Zeile nicht. Was hast du gemacht, um sie zu erhalten?
Du scheinst jedenfalls nicht das 4-fache der ersten Zeile zur zweiten addiert zu haben...
> $ = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 22 & -1 & 19 \\ 0 & -57 & 39 & 60 \\ 0 & 57 & -14 & 15 \end{pmatrix} $
> $ = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 22 & -1 & 19 \\ 0 & 0 & 25 & 75 \\ 0 & 57 & -14 & 15 \end{pmatrix} $
> $ = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 22 & -1 & 19 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 57 & -14 & 15 \end{pmatrix}$
Warum führst du die Berechnung nicht mittels Koeffizientenmatrizen weiter? Das scheint mir inkonsequent.
>
>
> (1) $\lambda_1 - 5\lambda_2 + \lambda_3 - \lambda_4 = 0$
>
> (2) $22\lambda_2 - \lambda_3 + 19\lambda_4 = 0$
> (3) $\lambda_3 + 3\lambda_4 = 0$
> (4) $57\lambda_2 - 14\lambda_3 +15\lambda_4 = 0$
>
> (3) $\lambda_3 + 3\lambda_4 = 0 $
> $ \Rightarrow \lambda_3 = -3\lambda_4 $
>
> $\lambda_3 = -3\lambda_4 $ setze ich in (2) ein:
>
> (2) $22\lambda_2 +3\lambda_4 + 19\lambda_4 = 0$
> $ \gdw 22\lambda_2 + 22\lambda_4= 0$
> $ \gdw \lambda_2 + \lambda_4= 0$
> $ \gdw \lambda_2 = -\lambda_4$
>
> $ \Rightarrow \lambda_2 = -\lambda_4 $
>
> $ \lambda_2 = -\lambda_4$, $\lambda_3 = -3\lambda_4$ in
> (1) einsetzen:
>
> (1) $\lambda_1 - 5(-\lambda_4) -3\lambda_4 - \lambda_4 = 0$
>
> $ \gdw \lambda_1 + 5\lambda_4 -3\lambda_4 - \lambda_4 =
> 0$
> $ \gdw \lambda_1 + \lambda_4 = 0$
> $ \gdw \lambda_1 = - \lambda_4$
>
> $ \Rightarrow \lambda_1 = - \lambda_4 $
>
> Ich setze $\lambda_4 = t$, dann folgt:
>
> $\lambda_1 = -\lambda_4 = -t$
> $\lambda_2 = -\lambda_4 = -t$
> $\lambda_3 = -3\lambda_4 = -3t$
> $\lambda_4 = t$
Hier konnte ich keinen Fehler entdecken, und die Lösungsmenge
>
> $ L = \{ (-t,-t,-3t,t\} $
stimmt auch!
> Die Vektoren sind damit nicht abhängig, weil aus
>
>
> $\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \lambda_3
> \cdot v_3 + \lambda_4 \cdot v_4 = 0$
>
> folgt nicht $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0$.
Bis auf den Teil mit den Koeffizientenmatrizen habe ich alles verstanden, aber da die Lösung stimmt, scheint auch das richtig zu sein.
Viele Grüße,
Marc
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