Niveaumengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] : (x,y) [mm] \mapsto x^3+y^3-3xy.
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass die Nullstellenmenge [mm] N_0 [/mm] (f) = {(x,y) : f(x,y) = 0} die Kurven [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR [/mm] \ {-1} [mm] \to \IR^2 [/mm] : t [mm] \mapsto (\bruch{3t}{1+t^3}, \bruch{3t^2}{1+t^3})^T [/mm] enthält. [mm] (\gamma [/mm] heißt folium cartesii und besteht aus zwei Kurven, da der Definitionsbereich aus der Vereinigung von zwie Intervallen besteht. |
Hallo,
mir ist grundsätzlich Klar, was niveaumengen sind (Alle Elemente des Definitionsbereich die auf den gegebenen Wert(hier: 0) abgebildet werden).
nun ist die Frage wie ich diese finde. ich habe Versucht die Gleichung 0 = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - 3xy nach einer Variablen umzustellen, aber das klappt irgendwie nicht. da drehe ich mich die ganze Zeit im Kreis. EIne weitere Schrierigkeit ist, dass x und y jeweils in Summe und Produkt hängen und ich die durch Termumformung ja nicht einseitig durch die andere beschreiben kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank
MfG
Wredi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 12.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] : (x,y) [mm]\mapsto x^3+y^3-3xy.[/mm]
>
> b) Zeigen Sie, dass die Nullstellenmenge [mm]N_0[/mm] (f) = {(x,y) :
> f(x,y) = 0} die Kurven [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR[/mm] \ {-1} [mm]\to \IR^2[/mm] : t
> [mm]\mapsto (\bruch{3t}{1+t^3}, \bruch{3t^2}{1+t^3})^T[/mm]
> enthält. [mm](\gamma[/mm] heißt folium cartesii und besteht aus
> zwei Kurven, da der Definitionsbereich aus der Vereinigung
> von zwie Intervallen besteht.
> Hallo,
>
> mir ist grundsätzlich Klar, was niveaumengen sind (Alle
> Elemente des Definitionsbereich die auf den gegebenen
> Wert(hier: 0) abgebildet werden).
>
> nun ist die Frage wie ich diese finde. ich habe Versucht
> die Gleichung 0 = [mm]x^3[/mm] + [mm]y^3[/mm] - 3xy nach einer Variablen
> umzustellen, aber das klappt irgendwie nicht. da drehe ich
> mich die ganze Zeit im Kreis. EIne weitere Schrierigkeit
> ist, dass x und y jeweils in Summe und Produkt hängen und
> ich die durch Termumformung ja nicht einseitig durch die
> andere beschreiben kann.
Hallo,
du kannst selbstverständlich nach x umstellen in den Sinne, dass du eine Gleichung 3. Grades aufstellst:
[mm] x^3-(3y)*x +y^3=0
[/mm]
Dann kannst du versuchen, diese Gleichung mit der Cardanischen Formel zu lösen.
Alternativ dazu kannst du die Substitution [mm] x=r*cos(\phi) [/mm] , [mm] y=r*sin(\phi) [/mm] machen und erhältst
[mm] cos^3\phi [/mm] + [mm] sin^3\phi -3*sin\phi*cos\phi [/mm] =0.
Im übrigen sieht man sofort, dass es im Spezialfall x=y Lösungen gibt.
Weiterhin muss, falls ein weiteres Paar (x,y) Lösung ist, das Paar (y,x) ebenfalls Lösung sein.
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank
>
> MfG
> Wredi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
und wie hilft mir das jetzt weiter? wie komme ich nun auf die Form, die ich zeigen soll?
Die cardanische Formel haben wir uach noch nicht eingeführt, also gehe ich davon aus, dass wir diese auch nicht benutzen sollen.
Warum gilt die Symmetrie?
MfG
Wredi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Sa 12.06.2010 | | Autor: | abakus |
> und wie hilft mir das jetzt weiter? wie komme ich nun auf
> die Form, die ich zeigen soll?
>
> Die cardanische Formel haben wir uach noch nicht
> eingeführt, also gehe ich davon aus, dass wir diese auch
> nicht benutzen sollen.
>
> Warum gilt die Symmetrie?
Wenn du in deinem Term x und y vertauschst, kommt doch das Gleiche heraus. Es gilt [mm] x^3+y^3=y^3+x^3 [/mm] und 3xy=3yx.
Aber ich habe mir die Aufgabe genauer angesehen. Du musst doch gar nicht [mm] x^3+y^3-3xy=0 [/mm] lösen.
Du musst nur zeigen, dass für [mm] x=\bruch{3t}{1+t^3} [/mm] und y= [mm] \bruch{3t^2}{1+t^3}) [/mm] da tatsächlich 0 rauskommt.
>
> MfG
> Wredi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
stimmt, da hast du wohl recht, da war es wieder, das brett vor dem kopf :), danke
MfG Wredi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
gehört zwar nicht zu der aufgabe, aber mich würde trotzdem noch interessieren, wie das jetzt genau funktioniert.
ich habe jetzt mal deine Alternative genommen.
[mm] f(x,y)=x^3+y^3-3xy
[/mm]
[mm] x=r\cdot cos(\phi)
[/mm]
[mm] y=r\cdot sin(\phi)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(r\cdot cos(\phi),r\cdot sin(\phi))=z=r^3\cdot cos^3(\phi)+r^3\cdot sin^3(\phi) -3\cdot r^2\cdot sin(\phi)\cdot cos(\phi)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow z=r^2(r\cdot cos^3(\phi)+r\cdot sin^3(\phi) -3\cdot sin(\phi) \cdot cos(\phi))
[/mm]
aber wie geht es jetzt weiter?
ich habe schon versucht mit additionstheoremen und etwaigen Kram das zu vereinfachen, aber da kommt nichts schlüssiges bei raus.
MfG
Wredi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 13.06.2010 | | Autor: | abakus |
> gehört zwar nicht zu der aufgabe, aber mich würde
> trotzdem noch interessieren, wie das jetzt genau
> funktioniert.
>
> ich habe jetzt mal deine Alternative genommen.
>
> [mm]f(x,y)=x^3+y^3-3xy[/mm]
> [mm]x=r\cdot cos(\phi)[/mm]
> [mm]y=r\cdot sin(\phi)[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(r\cdot cos(\phi),r\cdot sin(\phi))=z=r^3\cdot cos^3(\phi)+r^3\cdot sin^3(\phi) -3\cdot r^2\cdot sin(\phi)\cdot cos(\phi)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow z=r^2(r\cdot cos^3(\phi)+r\cdot sin^3(\phi) -3\cdot sin(\phi) \cdot cos(\phi))[/mm]
>
> aber wie geht es jetzt weiter?
> ich habe schon versucht mit additionstheoremen und
> etwaigen Kram das zu vereinfachen, aber da kommt nichts
> schlüssiges bei raus.
Hallo,
das war nur so eine Überlegung. Man kann zwar [mm] sin^3\phi=sin\phi*sin^2\phi=sin\phi*(1-cos^2\phi) [/mm] setzen, aber im Endeffekt wird das wohl nicht einfacher.
Gruß Abakus
>
> MfG
> Wredi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
und wie macht man das dann? das muss ja irgendwie lösbar sein.
MfG Wredi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
niemand eine Idee?
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Die eigentlich gestellte Aufgabe kann man einfach durch
Nachrechnen lösen, indem man für x und y die angegebenen
Terme in t einsetzt und nachprüft, ob für alle zugelassenen
t-Werte tatsächlich f(x(t),y(t))=0 ist.
Die Transformationsgleichungen [mm] x=r*cos(\varphi) [/mm] und [mm] y=r*sin(\varphi)
[/mm]
kann man dann einsetzen, wenn man versucht, aus der
kartesischen Kurvengleichung eine in Polarkoordinaten zu
machen.
Eine Lösung dazu für die vorliegende Kurve findet man da:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Blatt
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
ja, das hatte ich auch raus, stimmt alles, wunderbar, aber mich interessierte noch aus reinem interesse wie ich an so eine aufgabe allgemein rangehe, also wenn z beliebig ist.
MfG
Wredi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 13.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man kene gl. 3.ten Grades lösen kann gibt es für implizite kurven wie deine nur 2 möglichkeiten:
a) man findet eine parameterdarstellung- die ist hier gegeben und kann dann die Kurve seichnen, oder
b) man muss ein programm schreiben,das jeden Pixel deines Bildschirms in die gl. einsetzt und sieht ob sie (pixelgenau) erfüllt ist. ne einfache Programmieraufgabe.
so ist etwa das Bild unten entstanden. ich kenn nur ein mac- Programm was das tut. der Teil im 1.+2. Quadranten ist übrigens [mm] \gamma [/mm] für t>-1 der im 4.. Quadeanten, der für t<-1
[Dateianhang nicht öffentlich]
erstellt mit 3D-XplorMath
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
ja, aber wie würde ich denn so etwas rechnerisch lösen, wenn ich die niveaumengen in der klausur angeben soll, hab ich keinen PC oder taschenrechner oder sonstiges zur verfügung.
ist die einzige möglichkeit die cardanische formelfür beliebige z?
[mm] z=x^3+y^3-3xy
[/mm]
MfG Wredi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
So Aufgaben gibts eben deshalb nicht in der Klausur, die meisten Profs können die card. Formel auch nicht auswendig.
Dagegen kann man ja in die parametrisierte Form ein paar t einsetzen und damit den qualitativen verlauf raukriegen, der impliziten Form sieht man nur ihre Symmetrie also Vertauschbarkeit von x und y an. Du siehst ja auch, dass in dieser Aufgabe nicht verlangt war, die Kurve zu skizzieren,
Gruss leduart
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@ Leduart:
besten Dank für den Hinweis auf das Programm 3D-XplorMath !
LG Al
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