Niveaumenge = Hyperfläche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \Omega:=\{ (x,y)\in\IR^2 | x>e, y>e\} [/mm] und [mm] $f(x,y)=x^y-y^x$. [/mm]
Entscheide ob [mm] f^{-1}(0) [/mm] eine eindimensionale reguläre Hyperfläche im [mm] \IR^2 [/mm] ist oder nicht. |
Hallo,
wir haben folgendes definiert:
[mm] S\subset\IR^{n+l} [/mm] ist eine reg. Hyperflächer der Dim n, falls es [mm] \forall z_0\in [/mm] S eine Umgebung [mm] B_r^{n+l}(z_0) [/mm] und ein [mm] F\in C^k(B_r^{n+l}(z_0), \IR^l) [/mm] gibt, sodass [mm] S\cap B_r^{n+l}(z_0)=F^{-1}(0) [/mm] und [mm] 0\in\IR^l [/mm] ein reg. Wert von f ist.
Wie genau muss ich nun hier vorgehen?
Ich habe mal den Gradienten von f gebildet:
[mm] \nabla f=(yx^{y-1}-y^x\ln(y)\; [/mm] , [mm] \; x^y \ln(x)- xy^{x-1} [/mm] )
Weiter weiß ich leider nicht. Wer kann helfen?
Viele Grüße!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 22.05.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Würde es helfen, sich die Nullstellenmenge konkret anzugucken?
Es ist ja [mm] $f^{-1}(0) \gdw (x,y)\in\IR^2: x^y-y^x=0 [/mm] $
also [mm] $x^y=y^x$ $|\ln$
[/mm]
[mm] y*\ln(x)=x*\ln(y) [/mm]
[mm] $y*\ln(x)-x*\ln(y)=0$
[/mm]
Und rauskommen wir ja wohl die eindim. Hyperfläche, also eine Gerade, d.h. etwas der Form:
$y=mx$
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Merle23 |
Mit "Hyperfläche" ist hier wohl "Mannigfaltigkeit" gemeint.
Was du zeigen musst, hast du schon hingeschrieben.
Du hast sogar das F schon gegeben.
Du musst nur noch prüfen, dass du reguläre Werte vorliegen hast.
Das ganze ist einfach bloß eine Anwendung des Satzes über implizite Funktionen - mache dir das klar!
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> Mit "Hyperfläche" ist hier wohl "Mannigfaltigkeit"
> gemeint.
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> Was du zeigen musst, hast du schon hingeschrieben.
Ähm was denn genau? Das aus der Mitteilung?
> Du hast sogar das F schon gegeben.
> Du musst nur noch prüfen, dass du reguläre Werte vorliegen
> hast.
Wie muss ich das machen? Darf der Gradient nicht Null werden? Wenn ja, wie kann ich das hier zeigen?
>
> Das ganze ist einfach bloß eine Anwendung des Satzes über
> implizite Funktionen - mache dir das klar!
>
Ich versuche es, aber leider nicht sehr erfolgreich :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]\Omega:=\{ (x,y)\in\IR^2 | x>e, y>e\}[/mm] und
> [mm]f(x,y)=x^y-y^x[/mm].
> Entscheide ob [mm]f^{-1}(0)[/mm] eine eindimensionale reguläre
> Hyperfläche im [mm]\IR^2[/mm] ist oder nicht.
> Hallo,
>
> wir haben folgendes definiert:
> [mm]S\subset\IR^{n+l}[/mm] ist eine reg. Hyperflächer der Dim n,
> falls es [mm]\forall z_0\in[/mm] S eine Umgebung [mm]B_r^{n+l}(z_0)[/mm] und
> ein [mm]F\in C^k(B_r^{n+l}(z_0), \IR^l)[/mm] gibt, sodass [mm]S\cap B_r^{n+l}(z_0)=F^{-1}(0)[/mm]
> und [mm]0\in\IR^l[/mm] ein reg. Wert von f ist.
>
>
> Wie genau muss ich nun hier vorgehen?
> Ich habe mal den Gradienten von f gebildet:
>
> [mm]\nabla f=(yx^{y-1}-y^x\ln(y)\;[/mm] , [mm]\; x^y \ln(x)- xy^{x-1})[/mm]
$$ Setze \ [mm] S:=f^{-1}(0) \subset \IR^{1+1}, [/mm] \ [mm] B_{\infty}^{1+1}(z_0) :=\IR^2 [/mm] \ und \ F := f. $$
$$ Jetzt \ musst \ du \ nur \ noch \ die \ Bedingung \ mit \ dem \ regul"aren \ Wert \ nachpr"ufen. $$
$$ Wozu \ ist \ eigentlich \ das \ [mm] \Omega [/mm] \ gegeben? $$
$$ Ist \ es \ zuf"alligerweise \ der \ Definitionsbereich \ von \ f?$$
$$ Wenn \ ja, \ dann \ solltest \ du \ [mm] S:=f^{-1}(0) \cap \Omega [/mm] \ und \ [mm] B^{1+1}(z_0) :=\Omega [/mm] \ setzen. $$
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Hallo Merle und danke bisher! 
> > Sei [mm]\Omega:=\{ (x,y)\in\IR^2 | x>e, y>e\}[/mm] und
> > [mm]f(x,y)=x^y-y^x[/mm].
> > Entscheide ob [mm]f^{-1}(0)[/mm] eine eindimensionale reguläre
> > Hyperfläche im [mm]\IR^2[/mm] ist oder nicht.
>
> > Hallo,
> >
> > wir haben folgendes definiert:
> > [mm]S\subset\IR^{n+l}[/mm] ist eine reg. Hyperflächer der Dim n,
> > falls es [mm]\forall z_0\in[/mm] S eine Umgebung [mm]B_r^{n+l}(z_0)[/mm] und
> > ein [mm]F\in C^k(B_r^{n+l}(z_0), \IR^l)[/mm] gibt, sodass [mm]S\cap B_r^{n+l}(z_0)=F^{-1}(0)[/mm]
> > und [mm]0\in\IR^l[/mm] ein reg. Wert von f ist.
> >
> >
> > Wie genau muss ich nun hier vorgehen?
> > Ich habe mal den Gradienten von f gebildet:
> >
> > [mm]\nabla f=(yx^{y-1}-y^x\ln(y)\;[/mm] , [mm]\; x^y \ln(x)- xy^{x-1})[/mm]
>
> [mm]Setze \ S:=f^{-1}(0) \subset \IR^{1+1}, \ B_{\infty}^{1+1}(z_0) :=\IR^2 \ und \ F := f.[/mm]
>
> [mm]Jetzt \ musst \ du \ nur \ noch \ die \ Bedingung \ mit \ dem \ regul"aren \ Wert \ nachpr"ufen.[/mm]
Ein Punkt [mm] z_0\in\Omega [/mm] heißt regulär zu f, falls [mm] Df(z_0) [/mm] maximalen Rang=l hat. Also hier [mm] $rg\left(\nabla f (x_0,y_0)\right)=1 \overset{?}^{\gdw} \nabla [/mm] f [mm] \not= [/mm] (0,0)$
Leider ist mein [mm] $\nabla [/mm] f$ hier ziemlich kompliziert. Ich sehe hier nicht auf Anhieb, dass der Gradient nicht verschwindet. Gibts da nen Trick?
>
> [mm]Wozu \ ist \ eigentlich \ das \ \Omega \ gegeben?[/mm]
> [mm]Ist \ es \ zuf"alligerweise \ der \ Definitionsbereich \ von \ f?[/mm]
Ja wir betrachten die Funktion f ja nur auf dem Gebiet [mm] \Omega, [/mm] also darf ich auch nur die Werte (x,y) einsetzen, die in [mm] \Omega [/mm] liegen.
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> [mm]Wenn \ ja, \ dann \ solltest \ du \ S:=f^{-1}(0) \cap \Omega \ und \ B^{1+1}(z_0) :=\Omega \ setzen.[/mm]
Und dann bin ich schon fertig?
Gibt es eine Möglichkeit, dass ich mir S konkret vorstellen kann? Es ist ja eine Gerade oder?
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Ein Punkt [mm]z_0\in\Omega[/mm] heißt regulär zu f, falls [mm]Df(z_0)[/mm]
> maximalen Rang=l hat. Also hier [mm]rg\left(\nabla f (x_0,y_0)\right)=1 \overset{?}^{\gdw} \nabla f \not= (0,0)[/mm]
>
> Leider ist mein [mm]\nabla f[/mm] hier ziemlich kompliziert. Ich
> sehe hier nicht auf Anhieb, dass der Gradient nicht
> verschwindet. Gibts da nen Trick?
>
Ich sehe keinen Trick.
Vergiss nicht, dass x,y>e sind, da du ja Definitionsbereich Omega hast.
>
> Und dann bin ich schon fertig?
> Gibt es eine Möglichkeit, dass ich mir S konkret vorstellen
> kann? Es ist ja eine Gerade oder?
>
Ja, es ist sogar wirklich eine Gerade; hab mir das gerade zeichnen lassen.
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Ja für x=y=e wird der Gradient gerade genau 0. Wie ich zeigen kann, dass er sonst ungleich Null ist, weiß ich immer noch nicht.
Aber der ganze Rest ist mir mittlerweile klarer geworden. Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 25.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 24.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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