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| Aufgabe | | Diskutieren Sie die Höhenlinien [mm] N_f [/mm] (c) der Funktion [mm] f:\IR^2 \to \IR, f(x,y)=x^2-y^2. [/mm] Wann lässt sich [mm] N_f [/mm] (c) lokal als ein Graph einer Funktion x=g(y) darstellen? |
Hallo Leute,
wäre super, ob ihr mir sagen könntet, ob das so richtig ist, was ich hier so gemacht habe.
Für die Niveaulinien [mm] N_f(c):={x \in U | f(x)=c} [/mm] habe ich 3 Fälle unterschieden.
1) c=0 habe ich x= [mm] \pm [/mm] y
2) c>0 habe ich y= [mm] \pm \wurzel{x^2-c}
[/mm]
3) c<0 habe ich x= [mm] \pm \wurzel{y^2+c}
[/mm]
Mein Problem ist nun der zweite Teil der Aufgabe. Soll ich da nun angeben, für welche Werte c das x=g(x) existiert.
Hier würde ich sagen,dass für
1) c=0 geht dieses immer
2) c>0 hatte ich ja y= [mm] \pm \wurzel{x^2-c} \Rightarrow [/mm] x= [mm] \pm \wurzel{y^2+c} [/mm] und somit müsste dieser Graph auch immer existieren.
3) c<0 ist ja x= [mm] \pm \wurzel{y^2+c} [/mm] da c<0 kann es ja sein dass [mm] y^2+c<0 [/mm] wird und somit der Graph nicht mehr existiert im Reellen.
Verstehe halt nicht ganz was das lokal bedeuteten soll.
Vielen Dank schonmal
BergerBubb
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 27.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Satz über implizit definierte Funktionen
FRED
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Vielen Dank für deinen Tipp.
Ich habe mir den Satz einmal angeschaut und denke ich habe ihn auch verstanden.
Demnach müsste ich nun meine Funktion f nach x ableiten und schauen, wann diese Ableitung invertierbar ist.
[mm] \Rightarrow \bruch{\partial f}{\partial x}=2x
[/mm]
Dieses bedeutet ja, dass für jedes x [mm] \not= [/mm] 0 die Ableitung invertierbar ist.
Und für jeden Punkt (x,y) mit x=y ist auch f(x,y)=0 erfüllt.
Kann ich nun sagen, dass es für alle x [mm] \not= [/mm] 0 einen solchen Graphen gibt ?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 27.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deinen Tipp.
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> Ich habe mir den Satz einmal angeschaut und denke ich habe
> ihn auch verstanden.
>
> Demnach müsste ich nun meine Funktion f nach x ableiten
> und schauen, wann diese Ableitung invertierbar ist.
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{\partial f}{\partial x}=2x[/mm]
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> Dieses bedeutet ja, dass für jedes x [mm]\not=[/mm] 0 die Ableitung
> invertierbar ist.
> Und für jeden Punkt (x,y) mit x=y ist auch f(x,y)=0
> erfüllt.
Es geht doch um die Gleichung [mm] $x^2-y^2-c=0$ [/mm] !!!
FRED
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> Kann ich nun sagen, dass es für alle x [mm]\not=[/mm] 0 einen
> solchen Graphen gibt ?
>
> Gruß
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