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| Aufgabe 1 | Bestime die Niveaulinien der Funktionen
[mm] a)f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] b)f(x_{1},x_{2})=ln(x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{2}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage ist wie man die Niveaulinien berechnet?
ich habe folgendes zusammengetragen:
wenn man eine funktion mehrere veränderlicher gegeben hat setzt man sie gleich einer konstanten. die konstante steht für die höhenlinie. bspl:
[mm] f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/mm]
[mm] x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/mm] =C
damit hätte man schon die gleichung für die höhenlinen.
stellt man diese gleichung nun nach [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] um
so kann man den Niveaulinienverlauf in abhängigkeit von [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] bestimmen. bspl:
[mm] x_{1}=\pm\wurzel{C+x_{2}^{2}}
[/mm]
oder
[mm] x_{2}=\pm\wurzel{x_{1}^{2}-C}
[/mm]
setz ich für C beispielsweise 2 ein hätte ich entweder in abhängigkeit von [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] den Höhenlinienverlauf auf der Höhe 2.
im prinzip hät ich die aufgabe damit ja dann schon gelöst.
nur stellt sich jetzt foldendes problem:
so wie ich es verstanden habe, soll man die funktionsgleichungen möglichst auf eine Ellipse, Hyperbel oder Kreisfunktion bringen.
Ellipse: [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{b^{2}} [/mm] = 1
Hyperbel: [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2}=1
[/mm]
[mm] Kreis:(x_{1} [/mm] - [mm] a)^{2} [/mm] + [mm] (x_{2} [/mm] - [mm] b)^{2}=r^{2}
[/mm]
[mm] ax_{1}^{2} [/mm] + [mm] bx_{2}^{2}=1 [/mm] ist Ellipse für a [mm] \not= [/mm] b
und Kreis für a = b
so gesehen gibts also zwei formel für die darstellung einer hyperbel und eines Kreises (seh ich das richtig?)
Wenn ich mir nun die aufgabe a anschaue sehe ich ja dass die Hyperbelgleichung erfüllt ist, das heißt doch eigentlich, dass die aufgabe schon mit dem hinschreiben des Terms [mm] \bruch{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{C} [/mm] =1
gelöst ist oder nicht? richtig begründen kann ich meine aussage aber nicht, ist jetzt nur intuitiv, da ich nicht genau weiß wie die lösung einer niveaulinienberechnung aussehen soll.
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ich hab mich mal etwas weiter schlau gemacht.
mittlerweile denke ich, dass es generell richtig ist eine gegeben funktion zweier veränderlicher, nach einer variablen umzustellen. zudem ist es auch richtig die funktion gleich c zu setzen.
ich hab geschrieben man sollte die funktionen auf bekannte funktionen umformen also kreise, elipsen oder hyperbeln.
jedoch geht dies auch nur wenn die funktionen quadratisch sind ansonsten geht das nicht.
das heißt hat man eine funtkion die beispiels weise [mm] f(x,y)=x^{2}+y [/mm] lautet, dann lässt sich diese funktionen nicht nach einer bereits bekannten kreis, hyperbel oder elipsen funktion umschreiben, also bleibt der einzigste weg die funktion nach x oder y umzustellen und die werte auszurechen um sich ein bild dieser funktion machen zu können. der vorteil von funktionen die sich auf kreise, hyperbeln und ellipsen umformen lassen ist der, dass man die werte nicht auszurechnen braucht um sich vorstellen zu können wie die funktion aussieht.
was meine zweite aufgabe angeht, hab ich mir folgendes überlegt:
eine kreisfunktion ist gegeben durch: [mm] f(x,y)=x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} =r^{2} [/mm]
forme ich meine funktion nun auf eine kreisfunktion um sieht dies folgendermasse aus:
[mm] ln(x^{2}+y^{2})=C
[/mm]
[mm] x^{2}+y^{2}=e^{c}
[/mm]
somit ist dies eine Kreis um x=0 und y=0 mit dem radius [mm] \wurzel{e^{c}}
[/mm]
und [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] muss > 0 sein
seh ich das richtig?
ist die aufgabe so richtig gelöst?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Die 2. Aufgabe hast Du richtig gelöst.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Sa 21.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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