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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mo 17.05.2010 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Sei R ein noetherscher Ring. Ein Element [mm]x \in \IR[/mm] heißt nilpotent, wenn es ein [mm]n\in\IN[/mm] gibt mit [mm]x^n =0 [/mm]
....
(iii) Zeigen Sie, dass das Nilradikal von R genau der Schnitt aller Primideale von R ist |
Hi
In Aufgabe (i) habe wir gezeigt, dass das Nilradikal (also die Menge aller nilpotenten Elemente) ein Ideal ist
In Aufgabe (ii) haben wir gezeigt dass das Nilradikal in allen Primidealen von R enthalten ist.
zur (iii): "[mm]\subset[/mm]" ist klar nach Aufgabe (ii)
Bei der anderen Richtung bin ich mir leider nicht sicher wie ich da rangehen soll. Ist es sinnvoller das als direkten Beweis zu machen, oder durch Widerspruch. Ich komm bei keinem Weg weiter.
Vielen Dank
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Hallo algieba,
zeige: Falls $a [mm] \in [/mm] R$ nicht im Nilradikal, dann ist $a$ auch nicht in allen Primidealen!
Dazu betrachtet man die Menge
$S := [mm] \{a^n: n \in \mathbb{N}\} \subseteq R\backslash\{0\}$
[/mm]
und zeigt, dass es, unter den zu $S$ disjunkten Idealen, ein mit dieser Eigenschaft maximales Ideal gibt. Man zeigt dann, dass dieses Ideal prim ist und folglich ist $a$ nicht im Durchschnitt aller Primideale.
Gruß mathfunnel
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