Nilpotenz und Matrizenprodukt? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] D:=e_{1}e_{2}^{T}+e_{2}e_{3}^{T} \in M_{n}
[/mm]
Man zeige: [mm] D^{3}=0, (I_{n}-D)[I_{n}+D+D^{2}]=I_{n} [/mm] .
|
Hallo,
also [mm] D^{3}=0 [/mm] ist glaube ich klar, das ist die Nilpotenz , aber würde es bei dem zweiten ausreichen, wenn man das so ausmultiplizert wie es da steht , sprich:
[mm] (I_{n}-D)[I_{n}+D+D^{2}]= I_{n}^{2}+I_{n}D+I_{n}^{2}-I_{n}D-D^{2} -D^{3} [/mm] = [mm] I_{n} [/mm] ??
Und mal noch ne andere Frage die Gruppe [mm] M_{n} [/mm] ist ja die Gruppe alle nxn Matrizen, aber es gilt dort doch nicht immer die KOmmutativität?
Also müsste man den Beweis oben auch noch anders formulieren?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Sa 15.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]D:=e_{1}e_{2}^{T}+e_{2}e_{3}^{T} \in M_{n}[/mm]
> Man zeige:
> [mm]D^{3}=0, (I_{n}-D)[I_{n}+D+D^{2}]=I_{n}[/mm] .
>
> Hallo,
> also [mm]D^{3}=0[/mm] ist glaube ich klar, das ist die Nilpotenz ,
> aber würde es bei dem zweiten ausreichen, wenn man das so
> ausmultiplizert wie es da steht , sprich:
>
> [mm](I_{n}-D)[I_{n}+D+D^{2}]= I_{n}^{2}+I_{n}D+I_{n}^{2}-I_{n}D-D^{2} -D^{3}[/mm]
> = [mm]I_{n}[/mm] ??
Vorsicht, du hast dich da vertippt: das Produkt ist [mm]I_{n}^{2}+I_{n}D+I_{n} D^{2}-I_{n}D-D^{2} -D^{3}[/mm]. Das musst du jetzt noch vereinfachen, dann hast du allerdings ziemlich schnell nur noch [mm] $I_n$ [/mm] da stehen.
> Und mal noch ne andere Frage die Gruppe [mm]M_{n}[/mm] ist ja die
> Gruppe alle nxn Matrizen, aber es gilt dort doch nicht
> immer die KOmmutativität?
Nein, die gilt dort bezueglich der Multiplikation im Allgemeinen nicht. Bezueglich der Addition gilt sie dort jedoch immer!
> Also müsste man den Beweis oben auch noch anders
> formulieren?
Nein. Dort benutzt du ja nicht die Kommutativitaet bzgl. der Multiplikation, sondern nur die bzgl. der Addition!
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Sa 15.04.2006 | | Autor: | fussel1000 |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. :)
Frohe Ostern und viele Grüße !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Sa 15.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo,
dir auch frohe Ostern! :)
LG Felix
|
|
|
|
