Nilpotenter Endomorphismus < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum über einem Körper K. Ein Endomorphismus F [mm] \in End_K [/mm] (V) heißt nilpotent, wenn es ein k [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass [mm] F^{k} [/mm] = 0
(a) Ist F [mm] \in End_K [/mm] (V) nilpotent, so ist 0 der einzige Eigenwert von F
(b) Ist F [mm] \in End_K [/mm] (V), so gilt [mm] F^{n}=0
[/mm]
(c) Falls das charakteristische Polynom [mm] h_f [/mm] von F gleich [mm] t^{n} [/mm] ist, so ist F nilpotent |
(a) und (c) habe ich bereits gelöst.
Jedoch bereitet mit (b) Probleme.
Für n=k und n [mm] \ge [/mm] k denke ich mir, dass die Aussage stimmt.
Jedoch kann ich mir nicht vorstellen, was für n [mm] \le [/mm] k passiert.
Hat vielleicht irgendjemand einen Ansatz?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 28.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum über einem Körper
> K. Ein Endomorphismus F [mm]\in End_K[/mm] (V) heißt nilpotent,
> wenn es ein k [mm]\in \IN[/mm] gibt, so dass [mm]F^{k}[/mm] = 0
> (a) Ist F [mm]\in End_K[/mm] (V) nilpotent, so ist 0 der einzige
> Eigenwert von F
> (b) Ist F [mm]\in End_K[/mm] (V), so gilt [mm]F^{n}=0[/mm]
> (c) Falls das charakteristische Polynom [mm]h_f[/mm] von F gleich
> [mm]t^{n}[/mm] ist, so ist F nilpotent
> (a) und (c) habe ich bereits gelöst.
> Jedoch bereitet mit (b) Probleme.
> Für n=k und n [mm]\ge[/mm] k denke ich mir, dass die Aussage
> stimmt.
> Jedoch kann ich mir nicht vorstellen, was für n [mm]\le[/mm] k
> passiert.
> Hat vielleicht irgendjemand einen Ansatz?
Ich denke, dass (b) so lautet:
Ist F $ [mm] \in End_K [/mm] $ (V) nilpotent, so gilt $ [mm] F^{n}=0 [/mm] $
Wegen (a) ist 0 der einzige Eigenwert von F. Wie also lautet das char. Polynom ?
Was besagt Cayley -Hamilton ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Gnocchi |
> Ich denke, dass (b) so lautet:
>
> Ist F [mm]\in End_K[/mm] (V) nilpotent, so gilt [mm]F^{n}=0[/mm]
>
> Wegen (a) ist 0 der einzige Eigenwert von F. Wie also
> lautet das char. Polynom ?
>
> Was besagt Cayley -Hamilton ?
>
> FRED
Das charakteristische Polynom müsste doch [mm] t^{n} [/mm] bzw. (t-0)*...*(t-0) und das ganze n-mal sein.
So haben wir nur die n-fache Nullstelle 0.
Cayley-Hamilton haben wir in der Vorlesung nicht mehr geschafft. Hat unser Prof. heute auch nicht nachgeholt. Deshalb dürfen wir den Satz wohl nicht benutzen...es sei denn wir beweisen ihn selbst.
|
|
|
| |
|
moin,
Du gehst hier davon aus, dass das charakteristische Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt, dass also in Teil c) sogar eine Äquivalenz gilt.
Das müsstest du dann aber erst einmal zeigen.
Kennst du das Minimalpolynom?
Falls ja: Es ist [mm] $F^k [/mm] = 0$. Welcher Zusammenhang besteht damit zwischen dem Polynom [mm] $x^k \in [/mm] K[x]$ und dem Minimalpolynom von $F$?
Was kannst du daraus über das Minimalpolynom folgern?
Welchen Grad hat das Minimalpolynom von $F$ in deinem Fall höchstens?
lg
Schadow
|
|
|
|
