Nilpotente/diagonal Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 27.04.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | Es sei [mm] A=\pmat{ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1}
[/mm]
Berechnen Sie A^1000
ps: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt |
Also und zwar hab ich mich schlau gemacht, wie man sowas ausrechnte und habe dann versucht das anzuwenden, nur irgendwie hat das nicht so ganu hingehauen, deswegen wäre ich fuer einen kleinen Tip bezueglich meines Fehlers sehr dankbar....
1) bestimme das charakteristische Polynom: t*(t+1)(t-3)
also habe ich die Eigenwerte 0,-1,3
soweit alles klar, wollte ich die Nilpotente Matrix zur Matrix A bestimmen, aber da war dann schon der wurm drin. Ich dachte das die Formel dafuer [mm] A-t*E_4 [/mm] ist und ich fuer t halt einen der Eigenwerte einsetzte und dann muss ich ausprobieren, wie oft ich die Matrix mit sich selbst multiplizieren muss um Null rauszukriegen. Nur das Problem ist, dass ich nirgends Null rausriege.... Hab ich mich viell verrechnet oder so....
wäre echt super lieb, wenn mir jemand helfen könnte
lg penguin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 So 27.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
wenn deine Matrix [mm] A=\pmat{ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1} [/mm] lautet, dann hast du dich aber bei deinem charakteristischen Polynom vertan.
Für das charakteristische Ploynom gilt:
[mm] det(A-t*E_4)=det\pmat{ 3-t & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3-t & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3-t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1-t}
[/mm]
Wir haben eine obere Dreiecksmatrix, dass heißt für die Determinante:
[mm] det\pmat{ 3-t & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3-t & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3-t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1-t}=(3-t)^3*(-1-t)=0\gdw{t_{1,2,3}=3 \text{ und } t_4=-1}
[/mm]
Jetzt kannst du doch die Eigenvektoren zu den Eigenwerten berechnen. Du kannst dann eine Matrix T bestimmen, sodass
[mm] D=T*A*T^{-1} [/mm] mit [mm] D=diag(t_1,t_2,t_3,t_4) [/mm] (also eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen).
Dann stellst du um:
[mm] T^{-1}*D*T=A, [/mm] dann ist [mm] A^{1000}=(T^{-1}*D*T)^{1000}
[/mm]
[mm] (T^{-1}*D*T)^{1000}=T^{-1}*D*T*T^{-1}*D*T*T^{-1}*D*T*...*T^{-1}*D*T=T^{-1}*D*D*D*...*D*T=T^{-1}*D^{1000}*T
[/mm]
> soweit alles klar, wollte ich die Nilpotente Matrix zur Matrix A bestimmen, aber da war dann schon der wurm drin. Ich dachte das die Formel dafuer $ [mm] A-t\cdot{}E_4 [/mm] $ ist und ich fuer t halt einen der Eigenwerte einsetzte und dann muss ich ausprobieren, wie oft ich die Matrix mit sich selbst multiplizieren muss um Null rauszukriegen. Nur das Problem ist, dass ich nirgends Null rausriege.... Hab ich mich viell verrechnet oder so....
Ich nehme an, du möchstest keine nilpotente Matrix berechnen, sondern die Eigenräume.
Die Eigenräume berechnest du indem du [mm] Kern(A-t*E_4) [/mm] berechnest, wobei t dein jeweiliger Eigenwert ist.
Dazu siehe ![[]](/images/popup.gif) JNF-Kochrezept.
Hoffe, das hilft dir weiter.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 So 27.04.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi.
Im Endeffekt läuft das Problem doch darauf hinaus, dass wir die Jordanbasis von A bestimmen und dann einfach die Diagonalmatrix mit 1000 Potenzieren, oder hab ich das Problem hier missverstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 So 27.04.2008 | | Autor: | blascowitz |
Hallo das Problem an dieser Matrix ist dass sie nicht diagonalsierbar ist(sieht man mit hingucken. Man muss sich überlegen wie man die Potenz des obersten Blockes ausrechnet(da immer Blockweise multipliziert wird), Also die k-te Potenz einer oberen Dreiecksmatrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi.
In der Übung müssen wir vor dieser Aufgabe auch zeigen, dass für 2 Matrizen A,B mit AB=BA gilt:
[mm] (B+C)^n=\summe_{k=0}^{n}{\vektor{n \\ k}B^kC^{n-k}}
[/mm]
Wenn ich Matrix A nun Aufspalte in
[mm] B=\pmat{3&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1}
[/mm]
und
[mm] C=\pmat{0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}
[/mm]
so habe ich ja B+C=A und es gilt auch BC=CB, da B diagonalgestalt hat.
Durch die Tatsache dass [mm] C^2=0 [/mm] gilt, ist A^1000 doch damit:
A^1000=(B+C)^1000=B^1000+1000*(B^999+C), oder seh ich da was falsch? Wäre schön wenn mir das jemand bestätigen könnte.
MfG
Alexis
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Hallo Alexis,
> Hi.
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> In der Übung müssen wir vor dieser Aufgabe auch zeigen,
> dass für 2 Matrizen A,B mit AB=BA gilt:
>
> [mm](B+C)^n=\summe_{k=0}^{n}{\vektor{n \\ k}B^kC^{n-k}}[/mm]
>
> Wenn ich Matrix A nun Aufspalte in
>
> [mm]B=\pmat{3&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1}[/mm]
> und
> [mm]C=\pmat{0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}[/mm]
>
>
> so habe ich ja B+C=A und es gilt auch BC=CB, da B
> diagonalgestalt hat.
>
> Durch die Tatsache dass [mm]C^2=0[/mm] gilt, ist A^1000 doch damit:
> A^1000=(B+C)^1000=B^1000+1000*(B^999+C), oder seh ich da
> was falsch? Wäre schön wenn mir das jemand bestätigen
> könnte.
Erst [mm]C^{3}[/mm] ergibt die Nullmatrix.
>
> MfG
>
> Alexis
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi Mathepower, so hab ich es auch auf meinem Zettel stehen, hatte das nur überfolgen beim eintippen dann hier.
Aber der Ansatz sollte dann doch so gehen oder? nur dass es halt noch einen Summanden mehr gibt als von mir eben geschrieben^^
MfG
Alexis
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