Nilpotente Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 29.05.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die echte obere nxn Dreiecksmatizen mit Einträgen in einem Körper k eine Unteralgebra der Algebra Mat(n,k) bilden |
Hallo,
ich habe bei Beweisen keinen blassen Schimmer, was ich wie mache soll!!
Also wäre es echt super wenn mir jemand helfen könnte!
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass die echte obere nxn Dreiecksmatizen mit
> Einträgen in einem Körper k eine Unteralgebra der Algebra
> Mat(n,k) bilden
> Hallo,
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> ich habe bei Beweisen keinen blassen Schimmer, was ich wie
> mache soll!!
Was eine Algebra ist, ist dir hoffentlich bekannt?!
Die Matrizen M(n,k) bilden so eine Algebra (musst du das auch noch nachweisen?). Jetzt musst du stupide die Eigenschaften einer Unteralgebra nachweisen.
Hier wärst du gefragt um die anzugeben. Welche habt ihr aufgeschrieben. (Oder du schreibst die Axiome von einer Algebra auf und weist diese nach)
Alternative kannst du auch zeigen, dass die oberen nxn-Dreiecksmatrizen einen Vektorraum bilden (eventuell habt ihr das schon gemacht). Und du zeigst dann noch zusätzlich, dass das Produkt zweier oberer Dreiecksmatrizen wieder eine obere Dreickesmatrix ist.
Also nimm [mm] $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ [/mm] obere Dreickesmatrizen her. Hier gilt insbesondere
[mm]a_{ij}=\begin{cases} \neq 0, & \mbox{fuer } j\geq i \\
0, & \mbox{fuer } j < i \end{cases}[/mm] und [mm]b_{ij}=\begin{cases} \neq 0, & \mbox{fuer } j\geq i \\
0, & \mbox{fuer } j < i \end{cases}[/mm]
Für $C=A*B$ zeige C ist obere Dreiecksmatrix mit [mm] $c_{ij}=\sum \ldots [/mm] $
Dann solltest du für [mm] $c_{ij}$ [/mm] mit j<i nur Nullen erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 30.05.2011 | | Autor: | sissenge |
also die Eigenschaften einer Unteralgebra sind ja das gilt:
i) (x+y) z = zx+zy
ii)x (y+z) = xy + xz
iii) [mm] \alpha [/mm] (x y) = x ( [mm] \alpha [/mm] y)
iv) x , y [mm] \in [/mm] U dann muss auch xy \ in U
Aber ich weiß nicht wie ich das beweisen kann
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> also die Eigenschaften einer Unteralgebra sind ja das
> gilt:
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> i) (x+y) z = zx+zy
> ii)x (y+z) = xy + xz
> iii) [mm]\alpha[/mm] (x y) = x ( [mm]\alpha[/mm] y)
> iv) x , y [mm]\in[/mm] U dann muss auch xy \ in U
>
> Aber ich weiß nicht wie ich das beweisen kann
Wenn du die hast musst du wirklich stupide nur rechnen.
i) ist Distributivgesetz bei Matrizen
ii ) ist das auch
iii) habt ihr auch schon bewiesen
Das waren bis jetzt die üblichen Matrizenrechenregeln, die immer Bei Matrizen über Körpern gelten.
iv) ist interessant.
Also nimm $ [mm] A=(a_{ij}),B=(b_{ij}) [/mm] $ obere Dreickesmatrizen her. Hier gilt insbesondere
$ [mm] a_{ij}=\begin{cases} \neq 0, & \mbox{fuer } j\red{>} i \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $ und $ [mm] b_{ij}=\begin{cases} \neq 0, & \mbox{fuer} j\red{>} i \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $
Nun ist C=AB. Wobei [mm] $C=(c_{ij})$ [/mm] ist und gilt:
[mm] $c_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{pj}$
[/mm]
Nun muss auch [mm] $c_{ij}=0$ [/mm] für [mm] $j\red{\leq} [/mm] i$ gelten, damit C eine obere Dreiecksmatrix ist. Nun ist aber z.b. [mm] $c_{54}=\sum_{p=1}^n a_{5p}b_{p4}=\sum_{p=1}^4 a_{5p}b_{p4} [/mm] + [mm] \sum_{p=5}^n a_{5p}b_{p4}$
[/mm]
Die erste Summe ist 0, da [mm] a_{5p} [/mm] = 0 ist (p läuft von 1 bis 4 und p<5)
Die zweite Summe ist 0, da [mm] b_{p4} [/mm] = 0 ist (p läuft von 5 bis n und p>4)
Also ist [mm] $c_{54}=0$. [/mm] Das Schema läuft auch für restlichen (i,j). Du musst nur die Summen aufspalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Di 31.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ahh ok jeztt habe ich wenigstens mal den Ansatz eines Beweises verstanden... und das Beispiel versteh ich auch, allerdings bekomme ich den Schritt zum Allgemeinen nicht hin... Was meinst du mit die Summen aufspalten? Muss ich so eine Art Fallunterscheidung machen für [mm] j\ge [/mm] i und j <i ??
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Du brauchst doch nur den Fall i>j. Der Rest ist ja "wurscht".
Für i>j
[mm]c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\underbrace{\sum_{k=1}^j a_{ik}b_{kj}}_{S1}+\underbrace{\sum_{k=j+1}^n a_{ik}b_{kj}}_{S2}[/mm]
S2 = 0, da [mm]b_{kj}=0[/mm] ist
S1 = 0, da [mm]a_{ik}=0[/mm] ist. Es gilt ja i>j. Damit ist auch i>k
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GROßES EDIT: Hab glatt übersehen, dass es hier um echte Dreickesmatrizen geht. Dann musst du halt noch den Index umändern. Die Hauptdiagonale hat ja auch Nullen.
Wenn wir felix nicht hätten. Danke. Ich habe es verbockt. Der Beweis geht zwar so, aber bei den Summen muss noch ein Summand abgeändert werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 29.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Was das eigentlich mit Nilpotenten Matrizen zu tun hat, ist mir jedoch nicht klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Di 31.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Was das eigentlich mit Nilpotenten Matrizen zu tun hat, ist
> mir jedoch nicht klar.
jede nilpotente Matrix ist aequivalent zu einer echten oberen Dreiecksmatrix (z.B. einfach die JNF nehmen). Und jede echte obere Dreiecksmatrix ist nilpotent.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Di 31.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Moin,
Moin zurück 
(wollte ich schon immer mal erwidern)
>
> > Was das eigentlich mit Nilpotenten Matrizen zu tun hat, ist
> > mir jedoch nicht klar.
>
> jede nilpotente Matrix ist aequivalent zu einer echten
> oberen Dreiecksmatrix (z.B. einfach die JNF nehmen). Und
> jede echte obere Dreiecksmatrix ist nilpotent.
Das wusste ich. Jedoch sind hier auch "normale" obere Dreiecksmatrizen möglich und die sind ja i.A. nicht nilpotent. Damit habe ich jetzt keinen direkten Bezug zu nilpotenten Matrizen gefunden. Trotzdem danke für deine Reaktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Di 31.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Da war ich zu doof zum lesen. Danke. (peinlich ... ![[knirsch]](/images/smileys/knirsch.gif "[knirsch]") )
Habs an einigen Stellen korrigiert.
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