Nilpotente Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 25.01.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix $B [mm] \in M^{n}$
[/mm]
$B = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & _ \\ _ & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ _ & 0 & \ddots & 0 & 1 \\ _ & _ & _ & 0 & 0}$
[/mm]
(a) Zu berechnen ist [mm] $B^{k}$ [/mm] für $k = [mm] 0,\ldots,n$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $B^{n} [/mm] = 0$.
(b) Bestimmen Sie [mm] $e^{B}$
[/mm]
(c) Sei $A [mm] \in M^{n}$. [/mm] Bestimmen Sie $[A,B]$ |
Soweit bin ich:
(a) - B ist nilpotent, beim potenzieren rücken die einsen also immer weiter in die rechte obere ecke, bis bei [mm] B^{n} [/mm] schließlich die nullmatrix dasteht.
Aber wie kann ich zeigen, dass [mm] B^{n} [/mm] = 0 gilt?
(b) - Wenn ich eine Basis aus eigenvektoren bilden könnte, wüsste ich, wie das geht - aber kann ich das? WEnn nein: wie gehe ich dann vor?
(c) Da hab ich Ab und BA ausgerechnet und das abgezogen, dann erhalte ich eine schreibweise mit variablen [mm] a_{1,1}. [/mm] Ist wohl ok so...
Danke schonmal!
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Hallo papillon,
also den Teil (a) hast Du doch geloest, wie Du schreibst: [mm] B^n=0 [/mm] soll heissen, dass das die
Nullmatrix ist (0 steht hier fuer die 0-Matrix !!!).
Also zu den Eigenwerten: Aus [mm] B\cdot x=\lambda\cdot [/mm] x folgt doch sofort x=0 (der Nullvektor).
Du koenntest [mm] e^B [/mm] explizit ausrechnen, die Potenzen [mm] B^i [/mm] hast Du ja richtig beschrieben, also
[mm] e^B [/mm] = E + [mm] \frac{1}{2}\cdot [/mm] B [mm] +\ldots [/mm] + [mm] \frac{1}{(n-1)!}\cdot B^{n-1}
[/mm]
dh die Koeff, dieser Summe sind die Eintraege auf den Nebendiagonalen, oder ?
Viele Gruesse,
Mathias
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