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| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f [mm] \in End_K [/mm] (V) mit [mm] (\*)
[/mm]
[mm] \underbrace{f \circ f \circ ... \circ f }_{r} [/mm] = [mm] 0_v
[/mm]
Zeigen Sie:
(i) Es existiert eine Fahne [mm] {0_v}=V_0 \subseteq V_1 \subseteq [/mm] ... [mm] \subseteq V_n [/mm] = V von f-invarianten Unterräumen mit [mm] dim(V_i)=i
[/mm]
(ii) Gleichung [mm] (\*) [/mm] gilt mit einem r [mm] \le [/mm] n = dim(V). |
Guten Morgen,
ich hänge leider schon seit letzter Woche an dieser Aufgabe und ich glaube, mir fehlen nur wenige Schritte zur Lösung.
Erstmal zu den Begriffen:
- Nilpotente Abbildung bedeutet, dass eine Abbildung f beliebig oft hintereinander ausgeführt nur noch den Nullvektor abbildet.
- f-invarianter Unterraum bedeutet, dass alle Bilder aller Elemente eines Unterraums wieder eine Teilmenge des Unterraums sind, also [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W: f(W) [mm] \subseteq [/mm] W
- eine Fahne ist eine Verknüpfung von Unterräumen, wobei mit aufsteigendem Index die Dimension steigt (darum sieht geometrisch [mm] V_0,V_1,V_2 [/mm] aus wie eine Fahne)
Jetzt zur Aufgabe (i):
Ich habe erstmal die Fahne von rechts nach links aufgeschrieben, also
[mm] V=V_n \supseteq [/mm] ... [mm] \supseteq V_1 \supseteq V_0 [/mm] = [mm] {0_v}, [/mm] weil durch die Hintereinanderausführung der Abbildung f "Dimensionen verloren gehen".
Da "Dimensionen verloren gehen" werden also Basisvektoren [mm] v_i [/mm] eines Unterraumes [mm] V_i [/mm] durch die Abbildung f auf [mm] 0_v [/mm] im Unterraum [mm] V_i_-_1 [/mm] abgebildet, die dann in der Menge ker(f) zusammengefasst werden,
wobei [mm] ker(f)\cup V_i_-_1 [/mm] gilt.
Damit ist gezeigt, dass jeder Unterraum nichtleer und das neutrale Element [mm] 0_v [/mm] besitzt.
Ab hier habe ich dann Probleme den Sachverhalt weiter zu zeigen.
Stimmt es wenigstens bis hierher oder habe ich elementare Fehler begannen?
Eine Antwort wäre echt super!
Viele Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 12.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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