Nicht konstante Lsg einer DGL < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:56 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine nicht-konstante Lösung der Gleichung
y''(t)-cos(t)y'(t)+sin(t)y(t) = sin(t) |
Hallo ihr lieben,
also bei der Aufgabe habe ich erstmal das charakteristische polynom aufgestellt und dann die homogene gleichung gelöst!
[mm] \lambda^{2}-cos(t) \lambda [/mm] + sin(t) = 0.
Die Lösungen dieser Gleichung sind ja:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \bruch{cos(t)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{ \wurzel{cos^2(t)-4sin(t)}}{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \bruch{cos(t)}{2} [/mm] - [mm] \bruch{ \wurzel{cos^2(t)-4sin(t)}}{2}
[/mm]
Somit wäre ja die allgemeine Lösung des homogenen Systems gegeben durch:
y(t) = A [mm] e^{\lambda_{1}} [/mm] + B [mm] e^{\lambda_{2}}
[/mm]
Die Inhomogenität wäre ja von der Form sin(t) = [mm] \bruch{e^{\lambda_{1}}+ e^{\lambda_{2}}}{2}.
[/mm]
Da [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, ist doch die Lösung der inhomogenen Gleichung von der Form [mm] cte^{\lambda_{1}t}+dte^{\lambda_{2}t}.
[/mm]
Bin hier total auf dem falschen Weg? Ich denke ja, weil ich hier irgendwie so gar nicht weiterkomme.
Ein äquivalenter Ansatz dazu wäre ja dann: t( sin (t) + b cos (t)).
Von diesem Term könnte ich ja die Ableitungen machen, aber bringt mit das irgendwas?
Würd mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte bzw. nen anderen ansatz geben könnte!
Ich bedanke mich im voraus!
Lg,
Sherin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Do 29.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sherin
Die Methode mit dem char. Polynom geht nur mit Dgl mit konstanten Koeffizienten.
Zum Lösen hab ich grad keine Zeit.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Fr 30.06.2006 | | Autor: | DocBorn |
Hallo Sherin,
was mich an DGLs so etwas verängstigt ist halt, dass man immer so intuitive Ansätze braucht. Wenn man die Gleichung hier nämlich lange genug und böse genug ansieht dann sagt sie einem irgendwann freiwillig, dass ja
(cos(t) * y(t) )'
nach Produktregel
cos(t) * y'(t) - sin(t) * y(t)
ist. Somit lässt sich deine DGL schreiben als
y''(t) - (cos(t) * y(t) )' = sin(t)
was man umformen kann zu
y'(t) = cos(t) * y(t) - cos(t)
jetzt hast du ne inhomogne DGL erster Ordnung, die man wie gewöhnlich lösen kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 30.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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