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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Nicht isomorphes Beispiel
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Nicht isomorphes Beispiel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mo 18.11.2013
Autor: Topologe

Aufgabe
Sei [mm] \phi: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] H Gruppenisomorphismus.
a) Zeigen Sie, dass G und H gleich viele Elemente der Ordnung n [mm] \in \IN [/mm] haben. Formulieren Sie diese Aussage auch auf geeignete Art und Weise für unendliche Gruppen.

b) Geben Sie ein Beispiel zweier nicht isomorpher Gruppen, die  die Bedingung aus (a) erfüllen.

Hallo :-)

Es geht um b):

Grübel schon die ganze Zeit, um auf so ein Beispiel zu kommen, nur leider bis jetzt total ergebnislos :-(
Hat jemand vllt ein Tipp in welcher Ecke ich suchen könnte?

LG,
Topologe :-)
        
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Nicht isomorphes Beispiel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Mo 18.11.2013
Autor: Fry

Huhu,

z.B. die Kleinsche Vierergruppe, die isomorph zu [mm] $\mathbb Z_2$ [/mm] x [mm] $\mathbb Z_2$ [/mm] ist
und [mm] $\mathbb Z_4$ [/mm] haben beide 4 Elemente, sind aber nicht isomorph.


LG
Christian
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Nicht isomorphes Beispiel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mo 18.11.2013
Autor: Topologe

Hey, danke für die Antwort :-)

Mir ist aber das Beispiel noch nicht ganz klar...

[mm] V_{4}: [/mm] ord 1 = 1, ansonsten für a,b,ab Ordnung = 2 (also alle zu sich selbst invers)

[mm] \IZ_{4}: [/mm] ord 0 = 1, ord 1 = 4, ord 2 = 2, ord 3 = 4

Dementsprechend hätten doch [mm] V_{4} [/mm] und [mm] \IZ_{4} [/mm] nicht die gleiche Anzahl von Elementen mit der gleichen Ordnung. Oder hab ich da einen Denkfehler?

LG,
Topologe
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Nicht isomorphes Beispiel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 Mo 18.11.2013
Autor: Fry

Ohh, , ich nehm alles zurück, ich hab nicht gründlich gelesen, hab im Kopf gehabt, dass du zwei Gruppen der selben Ordnung suchst, die nicht isomorph sind...sorry!!
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Nicht isomorphes Beispiel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Di 19.11.2013
Autor: felixf

Moin!

Zumindest eine der Gruppen die du suchst muss (wenn sie endlich sein sollen) nicht abelsch sein: denn eine endliche abelsche Gruppe ist bis auf Isomorphie durch [mm] $(n_k)_{k \mid |G|}$ [/mm] festgelegt, wobei [mm] $n_k [/mm] = [mm] \{ g \in G \mid ord(g) = k \}$ [/mm] ist.

Wenn mich nicht alles taeuscht, haben die kleinsten beiden Gruppen die dies erfuellen je 16 Elemente. ([]Hier gibt's eine Liste von Kandidaten; siehe auch []Cycle graph, aus dem du die Anzahl der Elemente einer gewissen Ordnung ablesen kannst.)

LG Felix

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Nicht isomorphes Beispiel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Di 19.11.2013
Autor: Topologe

Keiner eine Idee? :-(
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Nicht isomorphes Beispiel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:39 Mi 20.11.2013
Autor: hippias

Wenn ein unendliches Beispiel erlaubt ist, dann wuerde ich da suchen (Gruppen, die keine Elemente endlicher Ordnung besitzen). Wenn es endliche Gruppen sein sollen, haette ich noch ein Frage: Sollen die Anzahlen fuer alle Elementordnungen uebereinstimmen oder nur fuer einen Teiler der Gruppenordnung?
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