Nicht injektive Garben < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe folgende Garben:
1) Die Strukturgarbe [mm] \mathcal{A} [/mm] einer glatten Mgfkt (d. h. gl. Funktionen nach [mm] \IR [/mm] )
2) Die Garbe [mm] \mathcal{B}, [/mm] die jeder offenen Menge alle reellwertigen Abbildungen zuordnet.
Und ich möchte nun zeigen, dass diese nicht injektiv sind.
Injektivität heißt ja, dass es zu jeder Injektion [mm] \iota [/mm] von [mm] \mathcal{F} [/mm] nach [mm] \mathcal{G} [/mm] und jedem Morphismus [mm] \varphi [/mm] von [mm] \mathcal{F} [/mm] nach [mm] \mathcal{A} [/mm] oder [mm] \mathcal{B} [/mm] eine Fortsetzung [mm] \psi [/mm] auf [mm] \mathcal{G} [/mm] gäbe. (also [mm] \varphi [/mm] = [mm] \psi \circ \iota [/mm] )
Zu 1) würde mir die Inklusion der lokal konstanten reellwertigen Funktionen in die stetigen bzw. glatten einfallen. Vom Gefühl her würde ich sagen, dass es keinen Garbenmorphismus von stetig nach glatt gibt, der auf den lokal konstanten die Identität ist, kann mir nicht vorstellen, dass es überhaupt einen gibt. Aber ich hab keine Ahnung, wie ich das beweisen sollte. Nen anderes Beispiel fällt mir aber überhaupt nicht ein. Ich hoffe, dass das Ding tatsächlich nicht injektiv ist.
Zu 2): Die Garbe ist ja schon sehr groß... Deshalb kann ich hier nicht einfach die lokal konstanten nehmen, die irgendwo drin liegen, weil ja alle Abbildungen da drin liegen. Mmh, was kann man denn dann nehmen? Irgendwie hab ich sogar das Gefühl, dass das Teil injektiv sein könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 04.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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