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| Aufgabe | Sei K ein Körper und K[x] der Polynomring über K. Sei v = [mm] x^2 [/mm] und w [mm] x^3 [/mm] und K[v,w] der von v und w erzeugte Unterring:
$K[v,w] = [mm] \bigcap_{R \subset K[x] \ Ring \ v,w
\in R, K \subset R}^{}R$
[/mm]
Zeigen Sie: K[v,w] ist ein nicht faktorieller Integritätsbereich. |
Hallo,
K[v,w] sind doch gerade die Polynome, bei denen der Koeffizient von [mm] x^2 [/mm] null ist.
Da K Körper ist auch K[v,w] Integritätsbereich.
Ich müsste jetzt also ein Gegenbeispiel finden, bei dem die Zerlegung in irreduzible Elemente uneindeutig (bis auf Einheiten) ist.
Das habe ich noch nicht geschafft, hat jemand einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein Körper und K[x] der Polynomring über K. Sei v =
> [mm]x^2[/mm] und w [mm]x^3[/mm] und K[v,w] der von v und w erzeugte
> Unterring:
>
> $K[v,w] = [mm]\bigcap_{R \subset K[x] \ Ring \ v,w
\in R, K \subset R}^{}R$[/mm]
>
>
> Zeigen Sie: K[v,w] ist ein nicht faktorieller
> Integritätsbereich.
> Hallo,
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> K[v,w] sind doch gerade die Polynome, bei denen der
> Koeffizient von [mm]x^2[/mm] null ist.
Wieso, [mm] $x^2$ [/mm] ist doch in $K[v, w]$ enthalten? Du meinst die Polynome, bei denen der Koeffizient von $x$ null ist.
> Da K Körper ist auch K[v,w] Integritätsbereich.
Eher weil $K[x]$ ein Int'bereich ist, und $K[v, w]$ ein Unterring ist.
> Ich müsste jetzt also ein Gegenbeispiel finden, bei dem
> die Zerlegung in irreduzible Elemente uneindeutig (bis auf
> Einheiten) ist.
Genau.
> Das habe ich noch nicht geschafft, hat jemand einen Tipp
> für mich?
Ueberleg dir, dass die Elemente $v$ und $w$ irreduzibel sind. Sind sie auch prim?
LG Felix
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