Nicht eindeutiger ggT < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:36 So 11.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei $R$ ein Integritatsbereich und $a, b, c [mm] \in [/mm] R$. Zeigen Sie:
I) Wenn $d, d'$ beide größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ sind, so gibt es $u [mm] \in R^{\ast}$ [/mm] mit $d' = [mm] d\cdot [/mm] u$.
II) Wenn $d$ ein großter gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist und wenn [mm] $d^{\sim}$ [/mm] ein größter gemeinsamer Teiler von $d$ und $c$ ist, dann ist [mm] $d^{\sim}$ [/mm] ein größter gemeinsamer Teiler von $a, b$
und $c$. |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe. Bei der I) bin ich wie folgt vorgegangen:
Es ist [mm] $ggT(a,b)=\{d,d'\}$. [/mm] Also gilt $d|a$ und $d|b$ sowie $d'|a$ und $d'|b$.
Da [mm] $d,d'\in [/mm] ggT(a,b)$ gibt es ein [mm] $c\in [/mm] R$ mit c|d und c|d' für $c|a$ und $c|b$
Da [mm] $d,d'\in [/mm] R$ und beides ggT sind, gilt somit $d|d'$ und $d'|d$. Somit ist
$du=d'$ und $d'u'=d$. Einsetzen liefert
$d'=d'u'u$ also $1=u'u$ Somit $u', [mm] u\in R^{\ast}$
[/mm]
Wäre das in Ordnung?
Ich hätte mal eine allgemeine Frage zur "nicht-Eindeutigkeit" des ggT.
Also zum Beispiel in [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] unterscheidet sich der ggT ja nur am Vorzeichen.
Ist das allgemein so?
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moin,
> Hi,
>
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe. Bei der I) bin ich wie
> folgt vorgegangen:
>
> Es ist [mm]ggT(a,b)=\{d,d'\}[/mm].
Nein. Wie ist der ggT bei euch definiert? Es ist sicher keine Menge mit nur zwei Elementen. Ich weiß schon was du meinst, aber formal ist das nicht ganz sauber.
> Also gilt [mm]d|a[/mm] und [mm]d|b[/mm] sowie [mm]d'|a[/mm]
> und [mm]d'|b[/mm].
> Da [mm]d,d'\in ggT(a,b)[/mm] gibt es ein [mm]c\in R[/mm] mit c|d und c|d'
> für [mm]c|a[/mm] und [mm]c|b[/mm]
Ja, etwa $c=1$. Ich sehe aber noch nicht, was dir das bringt.
> Da [mm]d,d'\in R[/mm] und beides ggT sind, gilt somit [mm]d|d'[/mm] und [mm]d'|d[/mm].
Darauf willst du hinaus, aber so wie sie bisher da steht, ist deine Argumentation noch sehr lückenhaft. Hier wäre es wiederum gut zu wissen, wie ihr ggT definiert habt. Als Erzeuger eines Ideals? Über die Primfaktorzerlegung?
> Somit ist
>
> [mm]du=d'[/mm] und [mm]d'u'=d[/mm]. Einsetzen liefert
>
> [mm]d'=d'u'u[/mm] also [mm]1=u'u[/mm]
Vorsicht hier. Nehmen wir als Beispiel [mm] $R=\IZ/6\IZ$, [/mm] so gilt [mm] $2\cdot [/mm] 4 = 2$, aber $4 [mm] \neq [/mm] 1$. Die Aussage stimmt, aber nur weil wir in einem Integritätsbereich sind. Deshalb solltest du hier genau die benötigte Eigenschaft verwenden und auch darauf hinweisen, dass du sie verwendest.
> Somit [mm]u', u\in R^{\ast}[/mm]
>
> Wäre das in Ordnung?
>
> Ich hätte mal eine allgemeine Frage zur
> "nicht-Eindeutigkeit" des ggT.
> Also zum Beispiel in [mm]\mathbb{Z}[/mm] unterscheidet sich der ggT
> ja nur am Vorzeichen.
> Ist das allgemein so?
Du hast dir diese Frage bereits mit Aufgabe 1 beantwortet. Im allgemeinen unterscheidet der ggT sich um Einheiten. In [mm] $\IZ$ [/mm] sind das halt zufällig nur [mm] $\pm [/mm] 1$, es kann aber deutlich mehr Einheiten in einem Ring geben - im Polynomring über einem Körper zum Beispiel alle Konstanten ungleich $0$. Die Umkehrung von 1, also dass wenn $d$ ein ggT und $u$ eine Einheit ist, dass dann auch $du$ ein ggT ist, kriegt man recht einfach hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 11.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Den ggT haben wir so definiert.
Sei R ein integritätsbereich seien [mm] $b_1, [/mm] ..., [mm] b_n\in [/mm] R$. Wir nennen a größten gemeinsamen Teiler von [mm] $b_1, [/mm] ..., [mm] b_n$, [/mm] wenn gilt:
1) [mm] $a|b_1, [/mm] ..., [mm] a|b_n$
[/mm]
2) Ist [mm] $c\in [/mm] R$ und gilt [mm] $c|b_1, [/mm] ...., [mm] c|b_n$ [/mm] so gilt $c|a$.
> Nein. Wie ist der ggT bei euch definiert? Es ist sicher keine Menge mit nur
> zwei Elementen. Ich weiß schon was du meinst, aber formal ist das nicht ganz
> sauber.
Dann würde ich es einfach so notieren:
$ggT(a,b)=d$ und $ggT(a,b)=d'$
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Du solltest einfach sagen, seien $d,d'$ beides größte gemeinsame Teiler. Das heißt einfach, dass $d$ und $d'$ beides Ringelemente sind, die Eigenschaft $1$ und $2$ erfüllen. Dann kannst du folgern, dass [mm] $d\mid [/mm] d'$ und [mm] $d'\mid [/mm] d$, wie du es schon im Startbeitrag getan hast, und daraus folgt, weil wir in einem Integritätsbereich arbeiten, dass $d$ und $d'$ sich um Einheiten unterscheiden.
Zu deiner Ausgangsfrage, die Shadowmaster eigentlich schon beantwortet hat: Betrachte z.B. [mm] $R=\IR[T]$, $a=T,b=T^2$. [/mm] Dann sind ist $xT$ ein größter gemeinsamer Teiler für [mm] $r\in\IR$ [/mm] beliebig ungleich Null.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:29 Mo 12.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok. Dann muss ich die I) also nur noch sauberer aufschreiben.
Zur Aufgabe II)
Ich weiß, dass $ggT(a,b)=d$ und [mm] $ggT(a,b,c)=d^{\sim}$
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass [mm] $ggT(a,b,c,)=d^{\sim}$.
[/mm]
Wir wissen, dass
$d|a$ und $d|b$ sowie [mm] $d^{\sim}|d$ [/mm] und [mm] $d^{\sim}|c$ [/mm] gilt.
Weil [mm] $d^{\sim}|d$ [/mm] gilt auch [mm] $d^{\sim}|a$ [/mm] und [mm] $d^{\sim}|b$ [/mm] und [mm] $d^{\sim}|c$, [/mm] da die Teilbarkeitsrelation transitiv ist.
Nun muss ich nur noch zeigen, dass für [mm] $e\in [/mm] R$ beliebig mit $e|a$ und $e|b$ und $e|c$ bereits [mm] $e|d^{\sim}$ [/mm] gilt.
Das gelingt mir jedoch nicht ganz. Ich hatte so angefangen, dass ich aus den ganzen Teilerbeziehungen ja weiß, dass
$ek=a$. Es gilt aber auch $dn=a$ also
$ek=dn$ und weil [mm] $d^{\sim}m=d$ [/mm] ist
[mm] $ek=d^{\sim}mn$
[/mm]
Jetzt müsste ich noch zeigen, dass $mn|k$ gilt.
Das kommt mir aber wie ein falscher Ansatz vor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 14.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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