Nicht-resonante Terme entferne < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bringe das System
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[mm] x'=y+xz,\quad y'=x^2+y^2+z^2,\quad [/mm] z'=-2z+xy
$$
in eine Normalform der zweiten Ordnung, d.h. finde Transformationen, die alle nicht-resonanten quadratischen Terme entfernt. |
Nabend,
die Ruhelage ist $(0,0,0)$ mit Linearisierungsmatrix
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[mm] A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & -2\end{pmatrix},
[/mm]
$$
d.h. die Eigenwerte sind
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[mm] \lambda_1=\lambda_2=0,\lambda_3=-2.
[/mm]
$$
Somit ist in der ersten Gleichung der Term $xz$, in der zweiten Gleichung der Term [mm] $z^2$ [/mm] und in der dritten Gleichung der Term $xy$ zu entfernen.
Ansatz:
Koordinatentransformation
$$
[mm] X=x+a_1y^2+a_2yz+a_3z^2,\quad Y=y+b_1x^2+b_2xz+b_3 z^2,\quad Z=z+c_1x^2+c_2xy+c_3 y^2.
[/mm]
$$
Dies eingesetzt in das Systeme ergibt
$$
[mm] X'=Y+XZ=y+b_1x^2+b_2xz+b_3z^2+xz+\text{ Terme der Ordnung 3 oder höher}~~(1),
[/mm]
$$
$$
[mm] Y'=X^2+Y^2+Z^2=x^2+y^2+z^2+\text{ Terme der Ordnung 3 oder höher}~~(2)
[/mm]
$$
and
$$
[mm] Z'=-2z-2c_1x^2-2c_2xy-2c_3y^2+xy+\text{ Terme der Ordnung 3 oder höher}~~~(3).
[/mm]
$$
Jetzt muss man die Koeffizienten [mm] $a_i,b_i,c_i, [/mm] i=1,2,3$ so bestimmen, dass die Terme der Ordnung 2 alle wegfallen.
(1) ergibt doch
$$
[mm] b_1=b_3=0, b_2=-1.
[/mm]
$$
Aber wie ich die anderen Koeffizienten bestimmen kann, weiß ich nicht, denn z.B. in (2) tauchen bei den quadratischen Termen ja gar keine der Koeffizienten auf!
Komisch! Weiß jemand Rat?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Mi 20.01.2016 | | Autor: | Hias |
Hallo,
ich bin mir jetzt auch nicht 100%-ig sicher, aber aus Gleichung (3) sollte man doch noch die [mm] $c_i$´s [/mm] ablesen können und was genau hindert dich daran, die [mm] $a_i$´s [/mm] =0 zu setzen?
Wenn ich mir die Gleichung so ansehe, dann taucht das x immer zusammen mit einem y oder z, oder im Quadrat auf. Somit kann mit deinem Ansatz deine $ [mm] a_i$'s [/mm] frühestens ab der Ordnung 3 auftauchen.
MfG
Hias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 22.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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