Newtonverfahren/Konvergenz < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei [mm] x^{*} [/mm] eine m-fache Nullstelle der Funktion f [mm] \in C^{m+1}(\IR).Beweisen [/mm] Sie, daß das folgende veränderte Newtonverfahren lokal mindestens von Ordnung 2 konvergiert:
[mm] x_{k+1}=x_{k}-m*\bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
[/mm]
Hinweis: Betrachten Sie die Taylorentwicklungen von f und f' an der Stelle [mm] x^{*}. [/mm] |
Hallo,
sei [mm] F(x^{*})=x^{*}-m*\bruch{f(x^{*})}{f'(x^{*})}.
[/mm]
Konvergenz von Ordnung 2 bedeutet hier [mm] F(x^{*})= [/mm] 0 und
[mm] F'(x^{*})=0 [/mm] ?
Mindestens von Ordnung 2 bedeutet, daß [mm] F(x^{*})= [/mm] 0 und
[mm] F'(x^{*})=0 [/mm] gilt?
Was bedeutet dann "lokal mindestens von Ordnung 2 konvergiert"?
Bis zu welcher Ordnung reicht es aus, f und f' zu entwickeln?
Gruß
Igor
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Hallo Igor1,
> Sei [mm]x^{*}[/mm] eine m-fache Nullstelle der Funktion f [mm]\in C^{m+1}(\IR).Beweisen[/mm]
> Sie, daß das folgende veränderte Newtonverfahren lokal
> mindestens von Ordnung 2 konvergiert:
>
> [mm]x_{k+1}=x_{k}-m*\bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.[/mm]
> Hinweis: Betrachten Sie die Taylorentwicklungen von f und
> f' an der Stelle [mm]x^{*}.[/mm]
>
>
>
> Hallo,
>
> sei [mm]F(x^{*})=x^{*}-m*\bruch{f(x^{*})}{f'(x^{*})}.[/mm]
>
> Konvergenz von Ordnung 2 bedeutet hier [mm]F(x^{*})=[/mm] 0 und
> [mm]F'(x^{*})=0[/mm] ?
Ja.
>
> Mindestens von Ordnung 2 bedeutet, daß [mm]F(x^{*})=[/mm] 0 und
> [mm]F'(x^{*})=0[/mm] gilt?
Ja.
>
> Was bedeutet dann "lokal mindestens von Ordnung 2
> konvergiert"?
Das heisst, dass es eine Umgebung [mm]U\left(x^{\*}\right)[/mm] von [mm]x^{\*}[/mm] gibt, in der das Newtonverfahren für alle Startpunkte [mm]x_{0} \inU\left(x^{\*}\right)[/mm], die durch [mm]F[/mm] erzeugte
Folge [mm]x_{k}[/mm] gegen [mm]x^{\*}[/mm] konvergiert.
Das Verfahren ist von der Ordnung 2, wenn
[mm]F\left(x^{\*}\right)=F'\left(x^{\*}\right)=0, \ F''\left(x^{\*}\right)\not=0[/mm]
>
> Bis zu welcher Ordnung reicht es aus, f und f' zu
> entwickeln?
>
>
> Gruß
> Igor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 28.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
da [mm] x^{\*} [/mm] eine m-fache Nullstelle ist: gilt [mm] f^{(k)}(x^{\*})= [/mm] 0 für
k= 1,...,m (stimmt das ?).
Dann ist die Taylorentwicklung von f bzw f' an der Stelle [mm] x^{\*} [/mm] :
f(x) = [mm] \bruch{f^{m+1}(\xi)}{(m+1)!}(x-x^{\*})^{m+1}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{f^{m}(\xi)}{(m)!}(x-x^{\*})^{m}
[/mm]
Stimmt es soweit?
Gruß
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> da [mm]x^{\*}[/mm] eine m-fache Nullstelle ist: gilt
> [mm]f^{(k)}(x^{\*})=[/mm] 0 für
> k= 1,...,m (stimmt das ?).
nein, nur bis m-1
> Dann ist die Taylorentwicklung von f bzw f' an der Stelle
> [mm]x^{\*}[/mm] :
>
> f(x) = [mm]\bruch{f^{m+1}(\xi)}{(m+1)!}(x-x^{\*})^{m+1}[/mm]
das sieht nach Restglied nicht Taylor aus. was soll das [mm] \xi?
[/mm]
Taylor ist immer ein Polynom
> f'(x)= [mm]\bruch{f^{m}(\xi)}{(m)!}(x-x^{\*})^{m}[/mm]
>
>
> Stimmt es soweit?
nein
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 28.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Taylorentwicklung ist doch Taylorpolynom + Restglied .
[mm] \xi [/mm] ist die "wohlbekannte" Zwischenstelle (zwischen x und [mm] x^{\*}) [/mm] der Lagrangedarstellung.
Falls also k=1,...,m-1 , dann
f(x) = [mm]\bruch{f^{(m)}(x^{\*})}{m!}(x-x^{\*})^{m}+\bruch{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x^{\*})^{m+1}[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{f^{(m)}(\xi)}{m!}(x-x^{\*})^{m}
[/mm]
Die Summanden für k=1,..., m-1 sind Null.
Stimmt das jetzt?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
du hast jetzt das TP mit der ersten zählenden Potenz für f
aber für f' nur ein Restglied, kein TP. und das falsche.
wenn du f' entwickelst hast du doch erstmal nur die Abl. von f' also [mm] (f')^{(n)}/n!*(x-x*)^n=f^{(n+1)}/n!*(x-x*)^n [/mm] als allgemeines Glied der TR von f'
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 28.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
f(x) = [mm]\bruch{f^{(m)}(x^{\*})}{m!}(x-x^{\*})^{m}+\bruch{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x^{\*})^{m+1}[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{f'^{(m-1)}(x^{\*})}{(m-1)!}(x-x^{\*})^{m-1}+\bruch{f'^{(m)}(\xi)}{m!}(x-x^{\*})^{m}
[/mm]
Ist das richtig?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
ja
leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
da sich bis jetzt niemand gemeldet hat, möchte ich wissen , woran das liegt:
Ist die Aufgabe kompliziert oder ist eine von meinen Aussagen falsch/unklar ?
Die Aufgabe soll ich bis morgen früh abgeben.
Übrigens , ich würde mich auch freuen , wenn ihr einfach zu dem Kommentare schreibt, was ihr kommentieren könnt. D.h die Frage/en müßen nicht vollständig beantworten werden. (wenn es nicht geht)
Gruß
Igor
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:05 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ist die Umformung (*) korrekt?
Gruß
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Modifiziertes Newtonverfahren bei p-facher Nullstelle.