Newtonsches Näherungsverfahren < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 So 27.11.2011 | | Autor: | xx2 |
Hallo an alle!
Ich habe von meinem Lehrer den Auftrag bekommen, das Newtonsche Näherungsverfahren der Klasse zu erklären am Beispiel einer Aufgabe. Die Aufgabe ist, die kleinste positive Schnittstelle von [mm] f(x)=e^{x} [/mm] und [mm] g(x)=2x^{2} [/mm] zu ermitteln. Ich habe nun schon f(x)-g(x) gerechnet und dabei [mm] h(x)=e^{x}-2x^{2} [/mm] erhalten, da die Nullstellen dieser Funktion ja die Schnittstellen der beiden anderen sind. Die Ableitung ist dann ja [mm] h'(x)=e^{x}-4x.
[/mm]
Mit einer Wertetabelle im Bereich von -1 bis 3 habe ich mir dann den Wert -0,5 ausgesucht, da der zugehörige y-Wert der 0 nahe kommt.
Nun komme ich allerdings nicht weiter. Wenn ich -0,5 in die Formel einsetze, bekomme ich nicht den richtigen Wert heraus. Und was hat es mit dem [mm] x_{n+1} [/mm] auf sich? Wie kann ich das verwenden?
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Hallo,
das Newton-Verfahren ist ein sog. Iterationsverfahren. Das bedeutet, man wiederholt es immer wieder, so lange, bis das Ergebnis mit der gewünschten Rechengenauigkeit vorliegt.
Mit der Formel
[mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
berechnet man, vom Wert [mm] x_n [/mm] ausgehend, die nächste Nährung [mm] x_{n+1}. [/mm] Diesen Wert setzt man bei der nächsten Iteration für [mm] x_n [/mm] in die Formel ein, usf.
Bei deinem Beispiel dauert es (mit dem angegebenen Startwert) zwei Schritte, bis das Ergebnis mindestens auf vier Nachkommastellen stimmt.
Erwähnen solltest du in deiner Präsentation der Vollstzändigkeit halber auch, dass das Verfahren nicht immer funktioniert. Wobei die Voraussetzungen, wann genau dies der Fall ist die Möglichkeiten der Schulmathematik bei weitem übersteigen, so dass man als Schüler i.d.R. stets mit solchen Problemen konfrontiert wird, in denen das Verfahren konvergiert, wie man sagt.
Außerdem könntest du dir noch das sog. Heron-Verfahren ansehen und zeigen, dass es nichts anderes ist, als eine Anwendung des Newton-Verfahrens auf die Gleichung
[mm] x^2-a=0 [/mm] ; a>0
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 27.11.2011 | | Autor: | xx2 |
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Also lautet die Formel ja dann [mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{e^{x_{n}}-2x_{n}^{2}}{e^{x_{n}}-4x} [/mm] , richtig?
Und wenn ich jetzt -0,5 einsetze, erhalte ich -0,9245224. Dann muss ich diesen Wert für [mm] x_{n} [/mm] verwenden, oder?
Wenn ich allerdings weiterrechne, erhalte ich nur noch negative Zahlen. Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du hast dich verrechnet, die erste näherung nach -0.5 ist -0.54..
2. du erwartest doch eine lösung für negative x. für die positive Nst musst du mit nem anderen startwert, z. Bsp 1 oder 1.5 anfangen.
sieh dir auch in wiki die Veranschaulichung des Verfahrens an!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 27.11.2011 | | Autor: | xx2 |
Okay, vielen Dank für die Antwort!
Jetzt habe ich noch eine Frage. Ist es egal, welchen Wert ich für [mm] x_{n} [/mm] zuerst einsetze? Ich soll ja die kleinste positive Schnittstelle herausfinden.
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Hallo xx2,
> Okay, vielen Dank für die Antwort!
> Jetzt habe ich noch eine Frage. Ist es egal, welchen Wert
> ich für [mm]x_{n}[/mm] zuerst einsetze? Ich soll ja die kleinste
> positive Schnittstelle herausfinden.
Für die positive Schnittstelle wählst Du
einen Startwert zwischen 1 und 2, da in
diesem Intervall die Nullstelle erwartet wird.
Gruss
MathePower
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