Newton-Verfahren skalarer Fall < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
muss wieder einmal eine Aufgabe lösen, für die ich bis jetzt noch keinen Ansatz finden konnte!Hoffe, dass mir jemand einen Tipp geben kann, wie ich an die Aufgabe herangehen kann!?
Hier ist die Aufgabe:
a.) Konstruiere graphisch ein Nullstellenproblem und einen Startwert, sodass die Näherungswerte des Newton-Verfahrens immer denselben positiven Abstand von der Nullstelle haben.
b.) Gegeben sei [mm]f(x)=x-1- \bruch{2}{x}[/mm] für [mm]x>0[/mm]. Zeige, dass das Newton-Verfahren zur Lösung von [mm]f(x)=0[/mm], für jeden Startwert [mm]x_{0}>0[/mm] gegen die eindeutige Nullstelle von f konvergiert.
Es war noch der Graph von [mm]f(x)[/mm]gegeben, wusste aber nicht, wie man den hier hineinbekommt!
Ich hoffe man kann mir da weiterhelfen, im voraus schonmal ein danke schön an alle!
Gruß Joergi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Sa 29.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Joergi,
zur a) weißt du wie das Newton-Verfahren aussieht?
also: du hasten eine Funktion f gegeben und einen Startwert [mm] x_0 [/mm] , dann findest du deinen nächsten Punkt indem du Nullstelle (=NST) der Tangente an [mm] f(x_0 [/mm] ) nimmst.
Die aufgabe ist rein graphisch, also mach dir keien Sorgen um spezielle Funktionsterme...
Nimm doch mal eine (beliebige, selbst-gemalte) Funktion, die um eine NST x' herum symmetrisch ist, also f(x'+x)=f(x'-x)
ddu solltest darauf achten , dass (auf beiden Seiten) die Steigung nochmal Null wird. Dann nimm einen Startwert x , so dass die Tangente die NST in (x'-x) hat. Wegen der Symmetrie wird dann dessen nächster Schritt wieder in x landen, usw....
zu b) Hier musst du die Vorraussetzungen überprüfen.
Je nachdem - entweder habt ihr spezielle Konvergenzkriterien für lokale Konvergenz oder (scheint mir hier zu reichen) du musst zeigen, dass die Newton-Iterationsvorschrift F mit diesem f eine kontrahierende Selbstabbildung ist, d.h. das das Bild nicht negativ wird (Monotonie!) und das F' einer Lipschitz-Bedingung mit Lipschitz-Konstante kleiner 1 genügt.
Hier müsste man also wissen, welche spezielle Kriterien du schon kennst und wo du beim zeigen derer Probleme hast.
viele Grüße
DaMenge
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