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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Mi 09.05.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | Schönen Abend an alle. 
Ich soll mit Hilfe des Newton-Verfahren ein Iterationsverfahren zur Berechnung von [mm] \frac{1}{\sqrt{a}} [/mm] aufzustellen, das ohne Division auskommt. |
$ [mm] (0,\infty )\to \mathbb [/mm] R,\ [mm] f(x)=ax^2-1 [/mm] $ ist eine Funktion, deren Nullstelle gleich $ [mm] \frac{1}{\sqrt{a}} [/mm] $ ist.
Da ihre Ableitung im Verfahren aber im Nenner steht, geht das ja nicht. $ f $ kann ich aber umformen:
$ [mm] f(x)=ax^2-1=0 \iff \underbrace{a-\bruch{1}{x^2}}_{:=\tilde f(x)}=0 [/mm] $ und wenn ich von diesem $ [mm] \tilde [/mm] f(x) $ die Ableitung nehme: $ [mm] \tilde f'(x)=\bruch{2}{x^3} [/mm] $ und diese dann in das Verfahren einsetze:
$ [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{ax^2-1}{\bruch{2}{x^3}}=x_n-0,5(ax^5-x^3) [/mm] $ dann klappt das, wenn ich z.B. 2 einsetze, dass dann $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] $ herauskommt.
Ich frage mich nur warum? $ [mm] \tilde [/mm] f' $ ist ja nicht die Ableitung von $ f $, obwohl dies laut der Newton-Verfahrensvorschrift doch sein müsste! Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:49 Do 10.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es muss ja nicht unbedingt die erste Funktion f sein, auf die du Newton anwendest, du machst halt - richtig- das newtonverfahren fuer die fkt [mm] g(x)=a-\bruch{1}{x^2}
[/mm]
und nicht fuer die fkt [mm] f(x)=ax^2-1
[/mm]
deshalb hat das natuerlich auch nichts mit f' sondern nur mit g" zu tun.
allerdings sagt dir deine Umformung, dass f und g die gleichen Nst. hat obwohl es sehr verschiedene fkt sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Do 10.05.2012 | | Autor: | saendra |
Danke.
Aber das Verfahren lautet doch $ [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] $
[mm] f(x_n) [/mm] ist bei mir [mm] f(x_n)=ax_n^2-1 [/mm], aber [mm] f'(x_n) [/mm] nicht [mm] f'(x_n)=2ax_n [/mm], sondern [mm] g'(x_n)=\bruch{2}{x^3} [/mm]
und ich setze ja [mm] f_ [/mm] in den Zähler und $ g' $ in den nenner ein. Das dürfte dann doch eig. nicht funktionieren, oder?
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Hallo,
> Danke.
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> Aber das Verfahren lautet doch
> [mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
>
> [mm]f(x_n)[/mm] ist bei mir [mm]f(x_n)=ax_n^2-1 [/mm], aber [mm]f'(x_n)[/mm] nicht
> [mm]f'(x_n)=2ax_n [/mm], sondern [mm]g'(x_n)=\bruch{2}{x^3}[/mm]
>
> und ich setze ja [mm]f_[/mm] in den Zähler und [mm]g'[/mm] in den nenner
> ein. Das dürfte dann doch eig. nicht funktionieren, oder?
nein, aber so hat leduart es ja auch nicht gemeint. Du benutzt ersatzweise die Funktion g mit
[mm] g(x)=a-\bruch{1}{x^2}
[/mm]
da sie ebenfalls die Nullstelle [mm] 1/\wurzel{a} [/mm] besitzt. Es steht somit die Rekursion
[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{g(x_n)}{g'(x_n)}
[/mm]
da, die tatstächlich eine ganzrationale Iterationvorschrift besitzt, d.h., unter dem Bruchstrrich steht kein x.
Und, btw: funktionieren tut es auch.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Schönen Abend an alle.
> Ich soll mit Hilfe des Newton-Verfahren ein
> Iterationsverfahren zur Berechnung von [mm]\frac{1}{\sqrt{a}}[/mm]
> aufzustellen, das ohne Division auskommt.
> [mm](0,\infty )\to \mathbb R,\ f(x)=ax^2-1[/mm] ist eine Funktion,
> deren Nullstelle gleich [mm]\frac{1}{\sqrt{a}}[/mm] ist.
>
> Da ihre Ableitung im Verfahren aber im Nenner steht, geht
> das ja nicht. [mm]f[/mm] kann ich aber umformen:
>
> [mm]f(x)=ax^2-1=0 \iff \underbrace{a-\bruch{1}{x^2}}_{:=\tilde f(x)}=0[/mm]
> und wenn ich von diesem [mm]\tilde f(x)[/mm] die Ableitung nehme:
> [mm]\tilde f'(x)=\bruch{2}{x^3}[/mm] und diese dann in das Verfahren
> einsetze:
>
> [mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{ax^2-1}{\bruch{2}{x^3}}=x_n-0,5(ax^5-x^3)[/mm]
> dann klappt das, wenn ich z.B. 2 einsetze, dass dann
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] herauskommt.
Leduart und Diophant haben das Wesentliche schon gesagt. Aber...
Du sagst , das Verfahren
[mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{ax^2-1}{\bruch{2}{x^3}}=x_n-0,5(ax^5-x^3)[/mm]
würde "klappen" ?
Das halte ich für ein Gerücht. Wie kommst Du drauf ?
FRED
>
> Ich frage mich nur warum? [mm]\tilde f'[/mm] ist ja nicht die
> Ableitung von [mm]f [/mm], obwohl dies laut der
> Newton-Verfahrensvorschrift doch sein müsste! Könnt ihr
> mir helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Do 10.05.2012 | | Autor: | saendra |
Ohjöö ohjöö ich hab zu kompliziert gedacht, tut mir echt leid! Jetzt hab ichs selber auch gesehen...
Vielen Dank für eure Hilfe!
![[kuss]](/images/smileys/kuss.gif "[kuss]")
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