Newton-Verfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 05.04.2011 | | Autor: | thb |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo, ich bin gerade beim Numerik-Lernen.
Es geht um das Newton-Verf.:
$x^{k+1}=x^k-\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}, \quad x^0 \in\mathbb{R}$ wobei $\bar{x}$ die Lösung sei, also $f(\bar{x})=0.
Mit $G(x^k)=x^k-\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}$ folgt für die Ableitung:
$G'(x)=1-\frac{(f'(x))^2-f(x)f''(x)}{(f'(x)^2))}=\frac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2} \Rightarrow G'(\bar{x})=0$ Toll das ist noch klar!
Daraus ist wohl die lineare Konvergenz gesichert, oder?
Aber bei der zweiten Abl. komm' ich einfach nicht drauf was der Prof. meinte. Er hat:
$G''(x)=\frac{(f)^3f''+f(f')^2f'''-2f(f'')^2f'}{(f')''}(x) \Rightarrow G'(\bar{x})=\frac{f''(\bar{x})}{f'(\bar{x})}$
Das blicke ich nicht. Wie kommt der überhaupt auf den Nenner mit der Potenz. Bei zweimaligem Abl. müsste da doch nach kürzen drei als Exponent sein. Also ich hab':
$G#(x)=\frac{\left(f'(x)f''(x)+f(x)f'''(x)\right)(f'(x))^2-f(x)f''(x)\cdot 2 \cdot f'(x)f''(x)}{(f'(x)^4)$
Das ist so i.O., oder?
Klingt banal aber ich muss dem nachgehen, sonst dreh' ich durch ;-(
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Hallo thb,
> Hallo, ich bin gerade beim Numerik-Lernen.
> Es geht um das Newton-Verf.:
>
> [mm]$x^{k+1}=x^k-\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}, \quad x^0 \in\mathbb{R}$[/mm]
> wobei [mm]$\bar{x}$[/mm] die Lösung sei, also [mm]$f(\bar{x})=0.[/mm]
>
> Mit [mm]G(x^k)=x^k-\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}[/mm] folgt für die
> Ableitung:
>
> [mm]G'(x)=1-\frac{(f'(x))^2-f(x)f''(x)}{(f'(x)^2))}=\frac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2} \Rightarrow G'(\bar{x})=0[/mm]
> Toll das ist noch klar!
> Daraus ist wohl die lineare Konvergenz gesichert, oder?
>
> Aber bei der zweiten Abl. komm' ich einfach nicht drauf was
> der Prof. meinte. Er hat:
>
> [mm]G''(x)=\frac{(f)^3f''+f(f')^2f'''-2f(f'')^2f'}{(f')''}(x) \Rightarrow G'(\bar{x})=\frac{f''(\bar{x})}{f'(\bar{x})}[/mm]
Hier haben sich mehrere Fehler eingeschlichen:
[mm]G''(x)=\frac{(f\red{'})^3f''+f(f')^2f'''-2f(f'')^2f'}{(f')^{\red{4}}[/mm]
>
> Das blicke ich nicht. Wie kommt der überhaupt auf den
> Nenner mit der Potenz. Bei zweimaligem Abl. müsste da doch
> nach kürzen drei als Exponent sein. Also ich hab':
>
> [mm]G#(x)=\frac{\left(f'(x)f''(x)+f(x)f'''(x)\right)(f'(x))^2-f(x)f''(x)\cdot 2 \cdot f'(x)f''(x)}{(f'(x)^4)[/mm]
>
> Das ist so i.O., oder?
Das soll wohl so lauten:
[mm]G\blue{''}(x)=\frac{\left(f'(x)f''(x)+f(x)f'''(x)\right)(f'(x))^2-f(x)f''(x)\cdot 2 \cdot f'(x)f''(x)}{(f'(x)^4)[/mm]
Ja, das ist so i.O.
> Klingt banal aber ich muss dem nachgehen, sonst dreh' ich
> durch ;-(
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Di 05.04.2011 | | Autor: | thb |
Hallo MathePower,
manchmal kann ich mich mit Kleinigkeiten den ganzen Tag lang aufhängen - dabei ist es eigentlich offensichtlich und trivial - dann braucht man halt einfach ein bisschen mehr MathePower...
Danke!
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