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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 27.09.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | Das Gleichungssystem soll als Nullstelle einer Funktion F: [mm] \IR^3 ->\IR^3 [/mm] formuliert werden.
[mm] x^2+y-z=0
[/mm]
[mm] x^2+y^2+z-8=0
[/mm]
[mm] x^3+y+z-6=0
[/mm]
Es sollen zwei Schritte des Newton-Verfahrens ausgeführt werden. Der Startwert ist (x,y,z)=(2,2,2). |
Hallo ihr,
ich komme bei der Aufgabe leider nur zur Jacobi-Matrix und hoffe dass die Schritte bis dahin richtig sind:
F(x,y,z) = [mm] \pmat{x^2+y-z \\ x^2+y^2+z-8 \\ x^3+y+z-6}
[/mm]
[mm] J_F= \pmat{ 2x & 1 &-1 \\ 2x & 2y &1 \\ 3x^2 & 1 & 1 }
[/mm]
Aus (x,y,z)=(2,2,2) =>
[mm] J_F(2,2,2) [/mm] = [mm] \pmat{ 2*2 & 1 &-1 \\ 2*2 & 2*2 &1 \\ 3*2^2 & 1 & 1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{4 & 1 &-1 \\ 4 & 4 &1 \\ 12 & 1 & 1 }
[/mm]
Nun weiß ich nicht weiter. Ich glaube, man muss das Inverse der Jacobi-Matrix berechnen, aber hier gibt es ein besonderes Verfahren, und das verstehe ich leider nicht ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Viele Grüße
Elefanti
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> Das Gleichungssystem soll als Nullstelle einer Funktion F:
> [mm]\IR^3 ->\IR^3[/mm] formuliert werden.
> [mm]x^2+y-z=0[/mm]
> [mm]x^2+y^2+z-8=0[/mm]
> [mm]x^3+y+z-6=0[/mm]
> Es sollen zwei Schritte des Newton-Verfahrens ausgeführt
> werden. Der Startwert ist (x,y,z)=(2,2,2).
> Hallo ihr,
>
> ich komme bei der Aufgabe leider nur zur Jacobi-Matrix und
> hoffe dass die Schritte bis dahin richtig sind:
>
> F(x,y,z) = [mm]\pmat{x^2+y-z \\ x^2+y^2+z-8 \\ x^3+y+z-6}[/mm]
>
> [mm]J_F= \pmat{ 2x & 1 &-1 \\ 2x & 2y &1 \\ 3x^2 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Aus (x,y,z)=(2,2,2) =>
> [mm]J_F(2,2,2)[/mm] = [mm]\pmat{ 2*2 & 1 &-1 \\ 2*2 & 2*2 &1 \\ 3*2^2 & 1 & 1 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{4 & 1 &-1 \\ 4 & 4 &1 \\ 12 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Nun weiß ich nicht weiter. Ich glaube, man muss das Inverse
> der Jacobi-Matrix berechnen, aber hier gibt es ein
> besonderes Verfahren, und das verstehe ich leider nicht
>
Hallo,
ich verstehe es richtig, daß das Invertieren Dein Problem ist?
Das kannst Du mit einem Matrixschema machen, links die zu invertierende Matrix, rechts die Eiheitsmatrix:
[mm] \pmat{4 & 1 &-1&|&1&0&0 \\ 4 & 4 &1&|&0&1&0 \\ 12 & 1 & 1&|&0&0&1 }.
[/mm]
Das formst Du nun durch Zeilenumformungen (wie wenn Du Gleichungen mit dem Gauß-Verfahren löst) so um, daß Du links die Einheitsmatrix hast. Rechts steht dann die gesuchte Inverse.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Do 27.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Angela,
ja das invertieren oder was nach der Jacobi-Matrix kommt ist mein Problem. So wie du mit Gauss invertierst, würde ich auch verfahren, aber ich soll das Newton-Verfahren anwenden. Das Newton Verfahren besagt:
1. [mm] J_f(x^n)\Delta x^{n+1} [/mm] = [mm] -f(x^n)
[/mm]
2. [mm] x^{n+1} [/mm] = [mm] x^n +\Delta x^{n+1}
[/mm]
Was ich nach der Vorschrift nun machen soll, ist mir ein Rätsel...
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Do 27.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elefanti,
> Hallo Angela,
>
> ja das invertieren oder was nach der Jacobi-Matrix kommt
> ist mein Problem. So wie du mit Gauss invertierst, würde
> ich auch verfahren, aber ich soll das Newton-Verfahren
> anwenden. Das Newton Verfahren besagt:
> 1. [mm]J_f(x^n)\Delta x^{n+1}[/mm] = [mm]-f(x^n)[/mm]
> 2. [mm]x^{n+1}[/mm] = [mm]x^n +\Delta x^{n+1}[/mm]
>
> Was ich nach der Vorschrift nun machen soll, ist mir ein
> Rätsel...
Ich denke, die sollst die erste der Gleichungen als lineares Gleichungssystem für [mm]\Delta x^{n+1}[/mm] betrachten und lösen. Das erste System ergibt sich aus [mm]x^0 = (2,2,2)[/mm] zu
[mm] \pmat{4 & 1 &-1 \\ 4 & 4 &1 \\ 12 & 1 & 1 } \cdot \vektor{\Delta x^1 \\ \Delta y^1 \\ \Delta z^1} = -F(2,2,2) = \vektor{4 \\ 2\\ 6} [/mm]
Damit kannst du mit deiner zweiten Gleichung die nächste Näherung ausrechnen.
(Leider bedeutet in dieser Notation x einmal den Vektor, einmal die x-Komponente, aber ich glaube du kannst es auseinanderhalten.)
Wenn du exakt rechnest, kannst du auch die Inverse der Jacobimatrix benutzen. Der Punkt der Numerik ist aber, dass man auch zu richtigen Ergebnissen kommen muss, wenn man nur mit endlicher Genauigkeit rechnet, Und dafür ist das Gaußverfahren besser geeignet, denn es vermeidet Operationen, die die Genauigkeit arg verschlechtern (salopp ausgedrückt).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Fr 28.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort.
> [mm]\pmat{4 & 1 &-1 \\ 4 & 4 &1 \\ 12 & 1 & 1 } \cdot \vektor{\Delta x^1 \\ \Delta y^1 \\ \Delta z^1} = -F(2,2,2) = \vektor{4 \\ 2\\ 6}[/mm]
>
> Damit kannst du mit deiner zweiten Gleichung die nächste
> Näherung ausrechnen.
>
Du meintest das so, oder?
[mm] \pmat{4 & 1 &-1 \\ 4 & 4 &1 \\ 12 & 1 & 1 } \cdot \vektor{\Delta x^1 \\ \Delta y^1 \\ \Delta z^1} [/mm] = -F(2,2,2) = - [mm] \vektor{4 \\ 2\\ 6} [/mm]
Dabei kommt heraus:
[mm] \Delta x^1 [/mm] = -19/32
[mm] \Delta y^1 [/mm] = - 1/4
[mm] \Delta z^1 [/mm] = 11/8
[mm] \vektor{x^{n+1} \\ y^{n+1} \\z^{n+1}} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\2} [/mm] + [mm] \vektor{ -19/32\\ - 1/4 \\ 11/8} [/mm] = [mm] \vektor{1+13/32 \\ 1+3/4 \\ 3+3/8}
[/mm]
Wenn ich also nur einen Schritt des Newton-Verfahrens zur Ermittlung einer Lösung machen sollte, wäre [mm] \vektor{1+13/32 \\ 1+3/4 \\ 3+3/8} [/mm] meine Lösung, richtig?
Beim zweiten Schritt wiederholt man ja das ganze nur mit den neuen Werten.
Viele Grüße
Elefanti
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> [mm]\vektor{x^{n+1} \\ y^{n+1} \\z^{n+1}}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\2}[/mm]
> + [mm]\vektor{ -19/32\\ - 1/4 \\ 11/8}[/mm] = [mm]\vektor{1+13/32 \\ 1+3/4 \\ 3+3/8}[/mm]
>
> Wenn ich also nur einen Schritt des Newton-Verfahrens zur
> Ermittlung einer Lösung machen sollte, wäre [mm]\vektor{1+13/32 \\ 1+3/4 \\ 3+3/8}[/mm]
> meine Lösung, richtig?
Hallo,
ich habe Deine invertierte Matrix nicht nachgerechnet.
Das Vorgehen hast Du verstanden. So geht's.
Gruß v. Angela
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