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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:07 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Sei [mm] P_{i,...,i+k}(x) [/mm] das Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] k, das
[mm] (x_{i},f_{i}) [/mm] j=i,...,i+k interpoliert und [mm] f[x_{i},...,x_{i+k}] [/mm] k-te devidierte Differenz.
ich habe Frage zum Beweis vom folgenden Satz(alles stammt von meiner Mitschrift):
Satz:
Es gilt mit [mm] 0\le [/mm] i [mm] \le [/mm] i+k <n
[mm] P_{i,...,i+k}(x)=f[x_{i}]+f[x_{i},x_{i+1}](x-x_{j})+...+f[x_{i},...,x_{i+k}]*
[/mm]
[mm] \produkt_{j=i}^{i+k-1}(x-x_{j}).
[/mm]
Beweis:
mittels vollständiger Induktion nach k:
1. k=0 [mm] p_{i}(x)=f[x_{i}]=f_{i} [/mm] (o.k)
2.Behauptung für k-1 (o.k), d.h insbesondere
[mm] P_{i+1,...,i+k}(x)=f[x_{i}]+f[x_{i},x_{i+1}](x-x_{j})+...+f[x_{i+1},...,x_{i+k}]*
[/mm]
[mm] \produkt_{j=i}^{i+k-1}(x-x_{j}).
[/mm]
[mm] P_{i,...,i+k-1}(x)=f[x_{i}]+f[x_{i},x_{i+1}](x-x_{j})+...+f[x_{i},...,x_{i+k-1}]*
[/mm]
[mm] \produkt_{j=i}^{i+k-2}(x-x_{j}).
[/mm]
3.Per Konstruktion gilt
[mm] P_{i,...,i+k}(x)=P_{i,...,i+k-1}(x)+a*\produkt_{j=i}^{i+k-1}(x-x_{j}).
[/mm]
Dazu habe ich Frage:
Was meint man hier mit Konstruktion, und insbesondere warum gilt die Gleichung?
Unten füge ich den Rest des Beweises hinzu:
oder auch [mm] P_{i,...,i+k}(x)= \bruch{(x-x_{j})P_{i+1,...,i+k}(x)-(x-x_{i+k})P_{i,...,i+k-1}(x)}{x_{i+k}-x_{i}}, [/mm] da beide Seiten Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] k, die in k+1 Punkten [mm] x_{j} [/mm] j=i,...,i+k interpolieren.
4.Koeffizientenvergleich für [mm] x_{k} [/mm] liefert [mm] a=\bruch{f[x_{i+1},...,x_{i+k}]-f[x_{i},...,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_{i}}=f[x_{i},...,x_{i+k}]
[/mm]
Gruss
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 30.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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