Neutrales Element der Faltung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:48 Do 22.12.2005 | | Autor: | Gianni |
Hallo alle zusammen,
Ich hätte eine Frage bezüglich des Faltungsintegrals:
(f [mm] \* [/mm] g)(x) = [mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] f(y-x)g(x)dx
Meine Frage: Gibt es für diese Operation ein neutrales oder
sogar inverses Element, d.h.: f [mm] \* [/mm] n = f bzw. f [mm] \* [/mm] i = n ?
Aus der Systemtheorie(elektrotechnische Signale) kenne ich die
[mm] \delta [/mm] - Distribution, die hier Eigenschaften eines neutralen Elementes
hat. Aber wie sieht das aus der Sicht der Mathematiker aus?
Kann man sagen, dass diese Distribution allgemein neutrales Element
der Faltung ist?
Und wenn es ein neutrales Element gibt, gibt es ein Inverses? Ich bin
auf keines gekommen, aber das muss ja nichts heißen!
Würde mich freuen, wenn mir dazu jemand aus mathematischer Sicht
einen Rat geben könnte,
Greetings
Johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Do 22.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Johannes!
Aus mathematischer Sicht ist zunächst zu sagen, dass man sich auf die entsprechende Grundmenge verständigen muss, bevor man von neutralen oder inversen Elementen redet.
Du gehst hier anscheinend von [mm] $L^1(\IR^n)$ [/mm] aus (offenbar mit $n=1$), also dem Raum der Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf dem [mm] $\IR^n$. [/mm] Mit dem Faltungsprodukt wird [mm] $L^1(\IR^n)$ [/mm] zu einer kommutativen Algebra (das sollte ich, by the way, in meiner Zwischenprüfung für mein Mathe-Lehramtsstudium beweisen), die aber kein neutrales Element besitzt.
Denn aus
$f=e [mm] \star [/mm] f$ für alle $f [mm] \in L^1(\IR^n)$
[/mm]
würde [mm] $\hat{f} [/mm] = [mm] (2\pi)^{\frac{n}{2}} \cdot \hat{e} \cdot \hat{f}$ [/mm] für alle $f [mm] \in L^1(\IR^n)$ [/mm] folgen (die Normierung kann bei anderslautender Definition der Fourier-Transformation eventuell wegfallen oder anders aussehen) und daraus [mm] $\hat{e} [/mm] = [mm] (2\pi)^{-\frac{n}{2}}$.
[/mm]
Dies steht im Widerspruch zu [mm] $\lim\limits_{|x| \to \infty} |\hat{e}(x)|=0$ [/mm] für alle $e [mm] \in L^1(\IR^n)$ [/mm] (nach dem Lemma von Riemann-Lebesgue).
Erweitert man die Definition der Faltung allerdings auf (geeigente Teilklassen von) Distributionen, so erhält man ein neutrales Element, nämlich die Delta-Distribution.
In welchen Fällen dann inverse Elemente existieren, weiß ich gerade nicht. Im Allgemeinen sicherlich nicht.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Do 22.12.2005 | | Autor: | Gianni |
Hallo Stefan,
Danke für die prompte und ausführliche Antwort!
Frohe Weihnachten und guten Rutsch
Johannes
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