Neumannreihe bilden, Inverse < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Finden Sie die Inverse von [mm] B:=\pmat{ 1 & -1/2 \\ -1/2 & 1 }\in \mathbb{R}^{2\times 2} [/mm]
durch analytisches berechnen der Neumann-Reihe von [mm] A=\pmat{ 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 }
[/mm]
Theorie zur Neumannreihe(die ist bereits gezeigt und klar):
Sei ||.|| eine Norm auf [mm] \mathbb{K}^n [/mm] und [mm] ||.||_M [/mm] eine damit veträgliche submultiplikative Norm auf [mm] \mathbb{K}^{n \times n} [/mm] und für A [mm] \in \mathbb{K}^{n\times n}: ||A||_M [/mm] <1
So ist (I-A) invertierbar mit [mm] (I-A)^{-1} [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty A^j [/mm] |
Hallo,
Wo ist der Fehler in meiner Rechnung?
gesucht: [mm] B^{-1}
[/mm]
Nun habe ich für A die Eigenwerte 1/2 und -1/2 ausgerechnet mit den Eigenvektoren (1,1) und (-1,1)
A= S [mm] *D*S^{-1} [/mm] mit D=diag(1/2,-1/2), S= [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 1& 1 }, S^{-1}=\pmat{ -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 }
[/mm]
[mm] A^j [/mm] = S [mm] D^j S^{-1}= \pmat{ 0 & -1/2^j \\ -1/2^j & 0 }
[/mm]
[mm] \sum_{j=0}^\infty [/mm] - [mm] \frac{1}{2^j}=-2 [/mm]
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:27 Mo 02.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie die Inverse von [mm]B:=\pmat{ 1 & -1/2 \\ -1/2 & 1 }\in \mathbb{R}^{2\times 2}[/mm]
> durch analytisches berechnen der Neumann-Reihe von [mm]A=\pmat{ 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 }[/mm]
>
> Theorie zur Neumannreihe(die ist bereits gezeigt und
> klar):
> Sei ||.|| eine Norm auf [mm]\mathbb{K}^n[/mm] und [mm]||.||_M[/mm] eine
> damit veträgliche submultiplikative Norm auf [mm]\mathbb{K}^{n \times n}[/mm]
> und für A [mm]\in \mathbb{K}^{n\times n}: ||A||_M[/mm] <1
> So ist (I-A) invertierbar mit [mm](I-A)^{-1}[/mm] =
> [mm]\sum_{j=0}^\infty A^j[/mm]
>
>
> Hallo,
> Wo ist der Fehler in meiner Rechnung?
> gesucht: [mm]B^{-1}[/mm]
> (I-A)=B
> Mit Frobeniusnorm [mm]||A||_F[/mm] =1/2 < 1
> Nach Theorie: [mm]B^{-1}=(I-A)^{-1}= \sum_{j=0}^\infty A^j[/mm]
>
> Nun habe ich für A die Eigenwerte 1/2 und -1/2
> ausgerechnet mit den Eigenvektoren (1,1) und (-1,1)
> A= S [mm]*D*S^{-1}[/mm] mit D=diag(1/2,-1/2), S= [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 1& 1 }, S^{-1}=\pmat{ -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 }[/mm]
>
> [mm]A^j[/mm] = S [mm]D^j S^{-1}= \pmat{ 0 & -1/2^j \\ -1/2^j & 0 }[/mm]
>
> [mm]\sum_{j=0}^\infty[/mm] - [mm]\frac{1}{2^j}=-2[/mm]
Da stimmt gewaltig etwas nicht.
Berechne mal von Hand [mm] A^2, A^3, A^4 [/mm] , ...
FRED
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ja mir ist klar, dass die Lösung nicht stimmt. Aber wo liegt der Fehler in meinen ersten Beitrag?
[mm] A^0= I_2
[/mm]
[mm] A^1=A
[/mm]
$ [mm] A^2= \pmat{ 1/4 & 0 \\ 0& 1/4 } [/mm] $
[mm] A^3 =\pmat{ 0 & 1/8 \\ 1/8 & 0 }
[/mm]
[mm] A^4=\pmat{ 1/16 & 0 \\ 0& 1/16 }
[/mm]
Also liegt die Vermutung nahe [mm] A^{2k}= \pmat{ 1/2^{2k} & 0 \\ 0& 1/2^{2k} }
[/mm]
und [mm] A^{2k+1}= \pmat{0 & 1/2^{2k+1} \\ 1/2^{2k+1}&0 } [/mm] die sich schnell mit Induktion beweisen lässt.
Es ist doch I-A=B und ich erreiche das Inverse von I-A indem ich die Neumannreihe von A ausrechne.
Dazu habe ich A diagonalisiert.
LG,
sissi
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Mit deinen [mm]S,D[/mm] gilt: [mm]SDS^{-1} = -A[/mm]. Folglich muß auch
[mm]S(-D)S^{-1} = A[/mm]
gelten. Und damit ist [mm]-D[/mm] die richtige Diagonalmatrix.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Also nochmal:
[mm] S*D*S^{-1}=A
[/mm]
mit [mm] S=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] und [mm] D=\pmat{ 1/2 & 0 \\ 0& -1/2} [/mm] und [mm] S^{-1}= \frac{1}{2} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
[mm] A^j [/mm] =S [mm] D^j S^{-1}= \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }\pmat{ 1/2^j & 0 \\ 0& (-1/2)^j}* \frac{1}{2} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1/2^j & -(-1/2)^j \\ 1/2^j & (-1/2)^j } \frac{1}{2} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }= \frac{1}{2} \pmat{ \frac{1}{2^j} + (-\frac{1}{2})^j & \frac{1}{2^j} - (-\frac{1}{2})^j \\\frac{1}{2^j} - (-\frac{1}{2})^j & \frac{1}{2^j} + (-\frac{1}{2})^j }
[/mm]
Da [mm] \sum_{j=0}^\infty A^j [/mm] absolut konvergiert konvergiert jeder Eintrag absolut also darf ich die Summen auseinanderziehen.
Geometrische Reihe mach den Rest.
Okay!?
Lg,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mo 02.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Also nochmal:
> [mm]S*D*S^{-1}=A[/mm]
> mit [mm]S=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] und [mm]D=\pmat{ 1/2 & 0 \\ 0& -1/2}[/mm]
> und [mm]S^{-1}= \frac{1}{2} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
> [mm]A^j[/mm] =S
> [mm]D^j S^{-1}= \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }\pmat{ 1/2^j & 0 \\ 0& (-1/2)^j}* \frac{1}{2} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1/2^j & -(-1/2)^j \\ 1/2^j & (-1/2)^j } \frac{1}{2} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }= \frac{1}{2} \pmat{ \frac{1}{2^j} + (-\frac{1}{2})^j & \frac{1}{2^j} - (-\frac{1}{2})^j \\\frac{1}{2^j} - (-\frac{1}{2})^j & \frac{1}{2^j} + (-\frac{1}{2})^j }[/mm]
>
> Da [mm]\sum_{j=0}^\infty A^j[/mm] absolut konvergiert konvergiert
> jeder Eintrag absolut also darf ich die Summen
> auseinanderziehen.
> Geometrische Reihe mach den Rest.
>
> Okay!?
Ja
FRED
> Lg,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sissile |
Danke!
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