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Neue Aufgaben Nr. 10: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:37 Sa 19.02.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Quelle: Kanadische Mathematik Olympiade 1971

Seien $x,y$ positive, reelle Zahlen mit $x+y=1$. Beweise, dass dann
[mm] $\left(1+\frac{1}{x}\right) \left(1+\frac{1}{y}\right) \geq [/mm] 9$
gilt.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Neue Aufgaben Nr. 10: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Sa 19.02.2005
Autor: Teletubyyy

Hi Hanno,

meine Lösung ist vielleicht unelegant und simple rechnerei - aber klappt.

Nachaufgabenstellung ist y=1-x. Als Lösung reicht es nun vollkommen aus, die Funktion [mm]f(x)=\left(1+ \frac{1}{x}\right) \left(1+\frac{1}{1-x}\left)=\frac{-x^2+x+1}{x-x^2}[/mm] zu diskutieren und erhällt für das Intervall (0;1) zwischen den Definitionslücken den Tiefpunkt (1.5|9)!!! q.e.d

Gruß Samuel

Bezug
                
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Neue Aufgaben Nr. 10: Symmetrie nutzen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:59 So 20.02.2005
Autor: Peter_Pein

Klasse, Samuel!

Bis auf den Tippfehler am Schluss war das auch meine Idee. Da ich aber faul bin und nicht gerne er- ähh - gebrochen rationale Funktionen ableite, argumentierte ich mit der offensichtlichen Symmetrie von $ [mm] f(x)=\left(1+ \frac{1}{x}\right) \left(1+\frac{1}{1-x}\right)$ [/mm] um [mm] $x_{0}=\frac{1}{2}$. [/mm] Aus ihr folgt, dass f dort ein Extremum haben muss oder konstant ist. Das letzte geht schon wegen der Pole bei 0 und 1 nicht. Dort geht f gegen [mm] $+\infty$, [/mm] also ist bei [mm] $x_{0}$ [/mm] ein Minimum. Einsetzen. Fertig.

Schönes Wochenende euch allen,
Peter

Bezug
                
Bezug
Neue Aufgaben Nr. 10: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 So 20.02.2005
Autor: Hanno

Hallo Samuel!

Deine LÖsung ist korrekt, ich hätte es allerdings so gemacht:
Ausklammern führt zu [mm] $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1+\frac{x+y+1}{xy}=1+2\frac{xy}$, [/mm] also zur äquivalenten Ungleichung [mm] $xy\leq\frac{1}{4}$. [/mm]
Die folgt aber direkt aus der Voraussetzung, da [mm] $\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow xy\leq\frac{1}{4}$ [/mm] gilt.

Liebe Grüße,
Hanno

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