Neilsche Parabel, regulär < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Sa 12.01.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Die Neilsche Parabel [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] wobei [mm] \gamma(t)=(t^2,t^3); [/mm] es ist [mm] \gamma' [/mm] (t)= [mm] (2t,3t^2) [/mm] daher [mm] \gamma'(0)=(0,0) [/mm] und [mm] \gamma [/mm] nicht regeulär. |
Die Neilsche Parabel ist aber stückweise regulär, wie muss ich die Zerlegung wählen so dass die Einschränkung jeweils regulär ist?
Im Skriptum steht:
[mm] \alpha(t)= \begin{cases} (-t,-|t|^{3/2}) & \mbox{für } t<0 \\ (t,t^{3/2}) & \mbox{für } t>=0 \end{cases}
[/mm]
Wie kommt man aber nur darauf?
LG
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Hallo quasimo,
das mit der Regularität ist ja quasi: "Der Tangentenvektor darf nicht verschwinden." Man sucht also eine äquivalente Umformung für [mm] \gamma, [/mm] sodass [mm] \gamma'(t)\not=0 [/mm] für alle [mm] t\in\IR.
[/mm]
Ich gehe dabei wie folgt vor:
Es ist [mm] x=t^2 [/mm] und [mm] y=t^3. [/mm] Daraus ergibt sich [mm] t=\pm\sqrt{x}. [/mm] Eingesetzt in $y$ erhält man [mm] y(x)=\pm{}x^{3/2}.
[/mm]
Jetzt kann man neu parametrisieren, muss aber $x<0$ und $x>0$ unterscheiden. Natürlich muss man auch den Fall $x=0$ in einer der beiden Fälle mit einbeziehen. Daraus ergeben sich dann zwei Teilkurven. Wählt man $x=t$. So ist [mm] $\frac{dx}{dt}=1$ [/mm] und somit ist die Kurve regulär.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Sa 12.01.2013 | | Autor: | quasimo |
danke supa ;)
LG
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Naja, die Kurve ist für positive x regulär, für
negative x ebenfalls, aber eben an der einzigen
Stelle x=0 nicht.
Das sollte doch genügen für die Eigenschaft
"stückweise regulär".
An der Stelle x=0 als Notbehelf doch noch einen
Tangentialvektor ad hoc einzuführen, halte ich
irgendwie nicht für ganz redlich. Denn die Kurve
hat dort einen Umkehrpunkt, in welchem man
keinen Tangentialvektor positiven Betrags fest-
setzen kann, ohne den Begriff der Differenzier-
barkeit bis zum Zerreißen zu strapazieren !
LG, Al-Chwarizmi
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