Negative Transitivität < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 So 10.05.2015 | | Autor: | Pi_sner |
| Aufgabe | Beweisen oder wiederlegen Sie die folgende Behauptung:
Sei [mm] $\leq$ [/mm] eine reflexive und transitive Relation auf der Potenzmenge [mm] $P(\mathbb{R}^k)$, $k\in \mathbb{N}$. [/mm] Und sei die Relation $<$ auf [mm] $P(\mathbb{R}^k)$, [/mm] wie folgt definiert. Für alle [mm] $X,Y\in P(\mathbb{R}^k)$ [/mm] gilt
$$X<Y [mm] \enspace :\gdw\enspace X\leq [/mm] Y [mm] \text{ und } Y\nleq [/mm] X.$$
Beh.: $<$ ist eine irreflexive und transitive Relation auf [mm] $P(\mathbb{R}^k)$. [/mm] |
Nunja, die Irreflexivität ist ja schnell gezeigt.
Aber wie zeige ich die Transitivität? Falls überhaupt möglich?!
Dazu müsste [mm] $\leq$ [/mm] ja eigentlich negativ transitiv sein oder nicht? Und das ist ja nicht zwangsweise gegeben oder doch? Ich komm auch auf kein Gegenbeispiel. Wäre super, wenn hier jemand eine Idee hätte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 So 10.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pi_sner!
> Beweisen oder wiederlegen Sie die folgende Behauptung:
>
> Sei [mm]\leq[/mm] eine reflexive und transitive Relation auf der
> Potenzmenge [mm]P(\mathbb{R}^k)[/mm], [mm]k\in \mathbb{N}[/mm]. Und sei die
> Relation [mm]<[/mm] auf [mm]P(\mathbb{R}^k)[/mm], wie folgt definiert. Für
> alle [mm]X,Y\in P(\mathbb{R}^k)[/mm] gilt
> [mm]X
>
> Beh.: [mm]<[/mm] ist eine irreflexive und transitive Relation auf
> [mm]P(\mathbb{R}^k)[/mm].
> Nunja, die Irreflexivität ist ja schnell gezeigt.
Ja.
> Aber wie zeige ich die Transitivität? Falls überhaupt
> möglich?!
Seien [mm] $X,Y,Z\in\mathcal{P}(\IR^k)$ [/mm] mit $X<Y<Z$, d.h.
a) [mm] $X\le Y\le [/mm] Z$ und
b) [mm] $Z\not\le Y\not\le [/mm] X$
Zu zeigen ist $X<Z$, d.h.
1. [mm] $X\le [/mm] Z$ und
2. [mm] $Z\not\le [/mm] X$.
1. ergibt sich unmittelbar aus a) und der Transitivität von [mm] $\le$.
[/mm]
> Dazu müsste [mm]\leq[/mm] ja eigentlich negativ transitiv sein oder
> nicht?
Wenn [mm] $\le$ [/mm] negativ transitiv wäre, könntest du 2. unmittelbar aus b) folgern.
Da ich keinen Grund sehe, dass [mm] $\le$ [/mm] negativ transitiv sein müsste, solltest du anders vorgehen:
Nimm Widerspruchs-halber an, dass 2. falsch wäre, also [mm] $Z\le [/mm] X$ gelten würde.
Bringe nun neben b) auch a) ins Spiel, um zu einem Widerspruch zu gelangen.
Kommst du mit diesen sparsamen Hinweisen schon weiter?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Pi_sner |
Hallo Tobias,
super, danke für deine schnelle Antwort. Ja da war ich wohl etwas blind: :)
Wenn 2. als falsch angenommen wird folgt mit a), dass
[mm] $$Z\leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] Y$$
gilt. Mit der Transitivität von [mm] $\leq$ [/mm] folgt wiederum, dass
[mm] $$Z\leq [/mm] Y$$
gilt, was ein Widerspruch zu a) bzw. zur Annahme ist!
Edit: Das sollte eig. keine Frage sein, scheint sich aber nicht mehr zu ändern lassen. Oder ich weiß nicht wie..
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