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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 So 20.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich stehe vor folgender Aufgabe:
Es seien [mm] B=(v_1,...v_n) [/mm] eine Basis des K-VR V, wobei K ein angeordneter Körper ist und [mm]\Phi:V \times V \to K[/mm] eine symmetrische Bifo mit der Grammatrix mit den Einträgen a-{i,j}.
Ferner sei [mm] d_k [/mm] = det(einer Untermatrix vom Format k[mm]\times[/mm]k für 1<= k<= n.
Zu zeigen ist:
Genau dann ist [mm]\Phi[/mm] negativ definit, wenn [mm] (-1)^k*d_k [/mm] > 0 gilt, k wie oben!
Leider weiss ich nicht genau, wie ich da herangehen soll.
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Grammatrix positiv deginit ist genau dann, wenn [mm] d_k [/mm] > 0 ist.
Meine Überlegugen bisher:
Hinrichtung:
[mm] M_B([/mm] [mm]\Phi[/mm][mm] )=P^T [/mm] * [mm] M_C([/mm] [mm]\Phi[/mm])*P, wobei P die Basiswechselmatrix und C eine Orthoganlbasis ist.
Dann gilt:
[mm] det(M_B([/mm] [mm]\Phi[/mm][mm] ))=det(P^T)*det(M_C([/mm] [mm]\Phi[/mm]))*det(P) = [mm] (det(P))^2 [/mm] * [mm] det(M_C([/mm] [mm]\Phi[/mm])).
Der erste Faktor ist negativ, der zweite nach Voraussetzung negativ.
Aslo ist det( [mm] M_B([/mm] [mm]\Phi[/mm])) negativ,
jetzt weis ich aber noch nicht, wie ich daraus schießen kann, dass das auch für jede Untermatrix der Fall ist.
Muss man eine Fallunterscheidung für k machen, denn [mm] (-1^)^k*d_k [/mm] ist ja nur dann >0, falls k gerade ist und [mm] d_k [/mm] >0 bzw. k ungerade ist und [mm] d_k [/mm] <0?
Rückrichtung:
Leider noch keine Idee!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 20.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo WurzelPi,
laut dem Trägheitssatz von Sylvester gibt es eine ebensolche Basis, so dass die Bilinearform durch eine Diagonalmatrix ausgedrückt werden kann.
Da uns nichts näheres über die gegebene Basis bekannt ist, lege ich einfach fest, dass es die gewünschte Basis ist, ansonsten kann man natürlich noch Basistranformation betreiben, aber das Problem in der Aufgabe liegt nicht darin, eine Basiswechselmatrix zu finden, also halte ich das für müßig.
Sei also $B = [mm] (v_{1},...,v_{n})$ [/mm] unsere ON-Basis, dann gilt [mm] $M_{B}(\Phi) [/mm] = [mm] diag(d_{11},...,d_{nn})$.
[/mm]
Hinrichtung:
[mm] $\Phi$ [/mm] ist nach Voraussetung negativ definit, also ist die Signatur von [mm] $M_{B}(\Phi)$ [/mm] $[0,n]$, bzw. [mm] $sgn(d_{ii}) [/mm] = -1$ für alle $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$.
Dann folgt aber doch
[mm] $(-1)^{k} [/mm] * [mm] d_{k}$ [/mm] = [mm] $(-1)^{k} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{k}(d_{ii})$ [/mm] = [mm] $(-1)^{k} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{k}((-1) [/mm] * [mm] |d_{ii}|)$ [/mm] =
[mm] $(-1)^{k} [/mm] * [mm] (-1)^{k} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{k}(|d_{ii}|)$ [/mm] = [mm] $\produkt_{i=1}^{k}(|d_{ii}|)$ [/mm] > $0$.
Was mich etwas verwundert ist, dass Du in Deinen Ausführungen eigentlich gerade die Idee für die Rückrichtung gebracht hast, ja, Du musst $k$ gerade und $k$ ungerade unterscheiden, insbesondere folgt für $k = 1$ ja, dass [mm] $d_{k}$ [/mm] < 0 sein muss.
Das Prinzip kannst Du dann weiterführen.
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 20.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo AT-Colt!
Vielen Dank für Deinen Hinweis.
Aus den Angaben Deines Profils gehe ich mal davon aus, dass wir dieselbe Vorlesung besuchen.
So, nun noch einmal zu deinem Hinweis:
Ohne Einschränkung sei also B eine orthogonale Basis, so dass man den Trägheitssatz von Sylvester anwenden kann.
Ansonsten müsste man halt eine solche othogonale Basis wählen.
Soweit klar.
Bei deiner Schlussfolgerung wendest Du nur an, dass [mm]\Phi[/mm] negativ definit ist.Richtig?
Okay, jetzt zur Rückrichtung.
Deiner Meinung nach kann man also eine Induktion nach n machen mit dem Ansatz den ich schon gegeben habe:
Das könnte doch dann etwa so aussehen:
n=1: [mm] (-1)^1*d_1 [/mm] >0, also muss [mm] d_1 [/mm] negativ sein.
n>1:
Gegeben sei ohne Einschränkung eine Orthogonalbasis [mm] (v_1,...,v_{n-1}) [/mm] so, dass für die Determinante der Grammatrix gilt:
[mm] (-1)^{n-1}d_{n-1}>0
[/mm]
Jetzt erweitern wir die Basis zu [mm] (v_1,....,v_{n-1},u).
[/mm]
Nach Induktionsvorasussetzung ist [mm] (-1)^{n-1}d_{n-1}>0, [/mm] wie oben erläutert.
Für gerades n muss dann u > 0 sein;
für ungerades n muss dann u < 0 sein.
Dann gilt: [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] d_n [/mm] >0.
Für ungerades n ist ja dann [mm]\Phi[/mm] negativ definit.
Jetzt meine Fragen:
Was hälst du überhaupt vom Beweis?
Was ist für gerades n? Dann wären ja nicht alle Einträge < 0 und somit nicht negativ definit?
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 So 20.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Servus WurzelPi,
ja, ich denke mal, dass wir beide vom lieben Herrn Pahlings erleuchtet werden, aber man kann meine Daten einsehen?! *genier*
Zur Hinrichtung:
Ja, ich wende nur an, dass [mm] \Phi [/mm] negativ definit ist (naja, und dass es eine symmetrische BiFo etc. ist).
Zur Rückrichtung:
Nein, Du brauchst nichtmal eine Induktion, da die Aussagen, die Du brauchst, trivial aus den Anordnungsgesetzen folgen (nein, ich habe keine Ahnung, was ich da schreibe, aber es klingt cool ^^; ).
Wir haben also unser [mm] $d_{n}$ [/mm] gegeben und wissen, dass [mm] $(-1)^{k} [/mm] * [mm] d_{k} [/mm] > 0$ gelten soll.
Dann machen wir hier unsere Fallunterscheidung:
I. Sei $k$ ungerade, also [mm] $\bruch{k}{2} \not\in \IN$, [/mm] dann gilt n.V.
[mm] $(-1)^{k} [/mm] * [mm] d_{k} [/mm] = [mm] -d_{k} [/mm] > 0$ für alle ungeraden $k$, also folgt direkt [mm] $d_{k} [/mm] < 0$
II. Sei $k$ gerade, dann gilt n.V.
[mm] $(-1)^{k} [/mm] * [mm] d_{k} [/mm] = [mm] d_{k} [/mm] = [mm] d_{k-1} [/mm] * [mm] d_{kk} [/mm] > 0$, wegen I. ist aber [mm] $d_{k-1} [/mm] < 0$ und somit trivialerweise auch [mm] $d_{kk}$, [/mm] also haben wir, dass jeder Eintrag mit geraden Indizes kleiner als 0 sein muss, und, dass jede Unterdeterminante [mm] $d_{k}$ [/mm] mit $k$ ungerade kleiner 0 ist.
Daraus folgt direkt , dass [mm] $d_{kk}$ [/mm] für ungerade $k$ kleiner sein muss, da sonst [mm] $d_{k} [/mm] * [mm] d_{k+1k+1} [/mm] > 0$ ein Widerspruch wäre.
Insgesamt hat man bei diesem allgemeinen Beweis ohne Induktion folgendes gemacht:
[mm] $d_{11}$ [/mm] ist kleiner $0$, jedes [mm] $d_{k}$, [/mm] $k$ ungerade ist kleiner $0$,
daraus folgt [mm] $d_{k+1k+1} [/mm] < 0$, da sonst der Voraussetung widersprochen würde,
daraus folgt [mm] $d_{kk} [/mm] < 0$, da sonst auch der Voraussetzung und dem ersten Punkt widersprochen würde.
Ich hoffe, das beantwortet Deine Frage, irgendwo ist bei Deinem Schluss ein Dreher drin (wie Du schon erwähnt hattest, bei geradem $k$ ergibt sich da ein Widerspruch).
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 So 20.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo AT-Colt!
Vielen Dank für die schnellen Antworten!
Deine Ansätze sind echt gut!!!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mo 21.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo WurzelPi,
Ich versuche es dann mal mit vollständiger Induktion nach k:
Sei [mm] $d_{k}$ [/mm] wie in der Aufgabenstellung definiert und sei [mm] $(-1)^{k}*d_{k}$ [/mm] größer $0$.
Es ist zu zeigen, dass daraus für alle $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ folgt [mm] $d_{k,k} [/mm] < 0$.
I.A.:
Es gilt für $k = 1$:
[mm] $(-1)^{1} [/mm] * [mm] d_{1} [/mm] = (-1) * [mm] d_{1,1} [/mm] > 0$ $=>$ [mm] $d_{1} [/mm] = [mm] d_{1,1} [/mm] < 0$.
I.S.:
Gelte die Aussage für ein $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$, dann ist der Schritt auf $k+1$ zu zeigen:
[mm] $(-1)^{k+1} [/mm] * [mm] d_{k+1} [/mm] = (-1) * [mm] (-1)^{k} [/mm] * [mm] d_{k} [/mm] * [mm] d_{k+1,k+1}$ [/mm] $=$
(nach Induktionsvoraussetzung und weil [mm] $(-1)^{k} [/mm] * [mm] d_{k} [/mm] := c > 0$ gelten soll)
$c * (-1) [mm] *d_{k+1,k+1} [/mm] > 0$ $=>$ [mm] $d_{k+1,k+1} [/mm] < 0$
Damit wurde die Behauptung mittels vollständiger Induktion nach $k$ gezeigt.
Da gilt [mm] $d_{k,k} [/mm] < 0$ für alle $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$, ist die Signatur der Matrix $[0,n]$, sie ist damit negativ definit.
q.e.d.
Ich bin wieder davon ausgegangen, dass die gegebene Basis bereits eine Diagonalmatrix [mm] $M_{B}(\Phi)$ [/mm] erzeugt.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo AT-Colt!
Das sieht doch gut aus, so ähnlich hatte ich mir das auch gedacht.
Ein Vorteil der Induktion ist sogar, dass man die Fallunterscheidung nicht mehr zu machen braucht!
Übrigens, zu unseren letzten Aufgabe c) habe ich was im Thread
"total-anisotrope" Bifo´s gepostet!
Gruss,
Wurzelpi!
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