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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 07.12.2015 | | Autor: | mathstu |
| Aufgabe | Sei die negative Binomialverteilung Nb(r,q)({k}) = [mm] \vektor{r+k-1 \\ k} *q^{r}*(1-q)^{k} [/mm] auf [mm] \omega [/mm] = [mm] \IN_{0} [/mm] mit r [mm] \in \IN [/mm] und 0<q<1 definiert.
a) Zeigen Sie für alle r, m [mm] \in \IN_{0} [/mm] durch Induktion nach m die Identität: [mm] \summe_{k=0}^{m} \vektor{r+k+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{r+m \\ m}.
[/mm]
b) Wir definieren Geom'(q)({k}) := Geom(q)({k+1}) = [mm] (1-q)^{k} [/mm] q.
Zeigen Sie durch Induktion Nb(r,q) [mm] \sim X_{1}+...+X_{r} [/mm] für unabhängig identisch verteilte [mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{r} \sim [/mm] Geom'(q).
c) Benutzen Sie b), um EX und Var(X) für X [mm] \sim [/mm] Nb(r,q) zu brechnen.
d) Wenn Geom(q) die Verteilung dafür angibt, wann der erste Erfolg in einer unendlichen Folge von q-Bernoulli-Experimenten stattfindet, was sind dann die entsprechenden Interpretationen von Geom'(q) und von Nb(r,q)? |
Hallo,
die a) habe ich schon vollständig gelöst.
b) IA: r=1: [mm] P(X_{1} [/mm] = k) = [mm] (1-q)^{k} [/mm] q (da [mm] X_{1} [/mm] und Geom'(q) identisch verteilt sind) = [mm] \vektor{k \\ k} q^{1}(1-q)^{k} [/mm] = Nb(1,q).
IV: Dies gelte nun für ein beliebiges r [mm] \in \IN.
[/mm]
IS: r [mm] \to [/mm] r+1:
P(X=k) = [mm] P(X_{1} [/mm] = [mm] a_{1},...,X_{r+1} [/mm] = [mm] a_{r+1}), [/mm] mit [mm] a_{1}+...+a_{r+1} [/mm] = k.
Dann gilt: P(X=k) = [mm] \summe_{a_{1} \in \omega(X_{1})...a_{r+1} \in \omega(X_{r+1})} P(X_{1} [/mm] = [mm] a_{1})*...*P(X_{r+1} [/mm] = [mm] a_{r+1}) [/mm] , da die [mm] X_{i} [/mm] unabhängig untereinander sind.
Nun bin ich mir unsicher wie ich weitermachen soll. Ich muss ja [mm] P(X_{r+1} [/mm] = [mm] a_{r+1}) [/mm] aus der Summe raus ziehen, damit ich die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.
[mm] \summe_{a_{1} \in \omega(X_{1})...a_{r+1} \in \omega(X_{r})} P(X_{1} [/mm] = [mm] a_{1})*...*P(X_{r} [/mm] = [mm] a_{r}) [/mm] + [mm] P(X_{r+1} [/mm] = [mm] a_{r+1}). [/mm] Habe ich das so richtig raus gezogen oder habe ich mich hier geirrt?
c) EX
= [mm] \summe_{k=0}^{r} k*(1-q)^{k}*q^{r}*\vektor{r+k-1 \\ k}, [/mm] mit Transformationsformel und mit b)
= [mm] q^{r}*(1-q)*r* \summe_{k=1}^{r} \bruch{k}{r} \bruch{(r+k-1)!}{(r-1)!k!} [/mm] * [mm] (1-q)^{k-1}
[/mm]
= [mm] q^{r}*(1-q)*r* \summe_{k=0}^{r} \bruch{k+1}{r} \bruch{(r+k+1-1)!}{(r-1)!(k+1)!} [/mm] * [mm] (1-q)^{k-1+1}
[/mm]
= [mm] q^{r}*(1-q)*r* \summe_{k=0}^{r} \bruch{(r+k)!}{r!k!} [/mm] * [mm] (1-q)^{k}
[/mm]
= [mm] q^{r}*(1-q)*r* \summe_{k=0}^{r} \vektor{r+k \\ k} [/mm] * [mm] (1-q)^{k} [/mm]
Nun weiß ich nicht mehr weiter. Ich habe auf Wikipedia gesehen, dass gelten muss: EX = [mm] \bruch{(1-q)r}{q} [/mm] , das heißt, dass die Reihe [mm] \bruch{1}{q^{r+1}} [/mm] ergeben muss, ich weiß aber nicht wie man darauf kommen könnte...
d) Geom'(q) gibt die Verteilung dafür an, wann der zweite Erfolg in einer unendlichen Folge von q-Bernoulli-Experimenten stattfindet.
Nb(r,q) gibt die Verteilung dafür an, wann der r-te Erfolg in einer unendlichen Folge von q-Bernoulli-Experimenten stattfindet.
MfG, mathstu.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Fr 11.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mathstu!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> a) Zeigen Sie für alle r, m [mm]\in \IN_{0}[/mm] durch Induktion nach m die Identität: [mm]\summe_{k=0}^{m} \vektor{r+k+1 \\ k}[/mm] = [mm]\vektor{r+m \\ m}.[/mm]
Du meinst
[mm] $\sum_{k=0}^{m}\binom{r+k-1}{k}=\binom{r+m}{m}$ [/mm] für alle [mm] $m\in\IN_0$.
[/mm]
(Übrigens: Man sieht hier sehr schön ein Problem an der Schreibweise [mm] $r,m\in\IN_0$. [/mm] Global ist zwar [mm] $r\in\IN$ [/mm] angegeben, aber man könnte hier fälschlicherweise interpretieren, dass die Aussage auch für [mm] $r=0\$ [/mm] gelten soll.)
> die a) habe ich schon vollständig gelöst.
Okay.
> b) Wir definieren Geom'(q)({k}) := Geom(q)({k+1}) = [mm](1-q)^{k}[/mm] q.
> Zeigen Sie durch Induktion Nb(r,q) [mm]\sim X_{1}+...+X_{r}[/mm] für unabhängig identisch verteilte [mm]X_{1},[/mm] ..., [mm]X_{r} \sim[/mm] Geom'(q).
Du meinst
[mm] $X_{1}+\ldots+X_{r}\sim \text{Nb}(r,q)$.
[/mm]
> b) IA: r=1: [mm]P(X_{1}[/mm] = k) = [mm](1-q)^{k}[/mm] q (da [mm]X_{1}[/mm] und Geom'(q) identisch verteilt sind) =[mm]\vektor{k \\ k} q^{1}(1-q)^{k}[/mm] = Nb(1,q).
Deine Begründung macht keinen Sinn!
Für alle [mm] $k\in\IN_0$ [/mm] gilt
[mm] $\text{Geom}'(q)=P(X_1=k)=(1-q)^k*q=\binom{k}{k}*(1-q)^k*q=\text{Nb}(1,q)$.
[/mm]
> IV: Dies gelte nun für ein beliebiges r [mm]\in \IN.[/mm]
Ersetze "Dies" durch "Die Behauptung" (oder Ähnliches).
> IS: r [mm]\to[/mm] r+1:
> habe ich mich hier geirrt?
Ja.
Es sei [mm] $X\sim\text{Nb}(r,q)$ [/mm] und [mm] $Y\sim\text{Geom}'(q)$.
[/mm]
Zeige, dass [mm] $Z:=X+Y\sim\text{Nb}(r+1,q)$ [/mm] gilt.
Tipp:
[mm] $P(Z=z)=P(X+Y=z)=\sum_{k=0}^{z}P((X=k)\cap(Y=z-k))=\ldots$.
[/mm]
Klingelt es jetzt?
> c) Benutzen Sie b), um EX und Var(X) für X [mm]\sim[/mm] Nb(r,q) zu brechnen.
Tipp: Faltungssatz!
> d) Geom'(q) gibt die Verteilung dafür an, wann der zweite
> Erfolg in einer unendlichen Folge von
> q-Bernoulli-Experimenten stattfindet.
Wie ist [mm] $\text{Geom}'(q)$ [/mm] (weiter oben) definiert?
> Nb(r,q) gibt die Verteilung dafür an, wann der r-te
> Erfolg in einer unendlichen Folge von
> q-Bernoulli-Experimenten stattfindet.
Wie ist [mm] $\text{Nb}(r,q)$ [/mm] (weiter oben) definiert?
Gruß
DieAcht
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