Negation von Aussage < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Do 25.10.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Für eine Funktion gelte: zu jedem [mm] x_0 [/mm] und jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass [mm] $|f(x_o)-f(x)|<\epsilon$ [/mm] für alle x aus R, mit [mm] $|x-x_0|<\delta$
[/mm]
Gesucht ist das logische Gegenteil. |
Hi,
das ist ja die Formulierung für die Stetigkeit. Es wird ausgesagt, dass für jedes [mm] x_0 [/mm] gilt, dass es ein unendlich viele x gibt, die sehr dicht bei [mm] x_0 [/mm] liegen, so dass dann der Betrag der Differenz der Funktionswerte von x und [mm] x_0 [/mm] sehr klein sind, sprich: f ist über Gesamt R stetig.
Nun ist das logische Gegenteil gesucht.
Ich behaupte, dass diese Funktion dann nicht über gesamt R stetig ist, wenn es mindestens ein [mm] x_0 [/mm] gibt, so dass dann die Differenz der Funktionswerte von [mm] x_0 [/mm] und x größer als ein [mm] $\epsilon$ [/mm] sei.
Also die Formuliereung wäre dann diese:
Zu (mindestens) einem [mm] x_0 [/mm] und (muss das und hier auch zu einem oder umgekehrt werden?) einem [mm] $\epsilon$>0 [/mm] existiert ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass [mm] $|f(x_o)-f(x)|>\epsilon$ [/mm] für mindestens ein x aus R mit [mm] $|x-x_0$<\delta$.
[/mm]
Passt das so?'Weil das Gegentil in der Sprache weiß ich ja, dass es mindestens ein [mm] x_0 [/mm] geben muss, für dass dann gelten muss: Liegen zwei x-Werte in mindestens einer Richtung sehr nahe beieinander (was ja die letze Sache mit dem [mm] |x-x_0| [/mm] darstellt), so muss die Differenz der dazugehörigen Funktionswerte schon größer sein als ein [mm] \epsilon.
[/mm]
Das man aus jedem [mm] \epsilon [/mm] "ein" [mm] \epsilon [/mm] macht, begründe ich damit, dass ja die Differenz der Funktionswerte nicht für alle [mm] \epsilon [/mm] größer Null größer sein müssen, da die Differenz ja auch nicht unendlich sein kann....d.h. man hat irgendeine Differenz der Funktionswerte von sagen wir 5, wo die dazugehörigen x-Werte recht nahe beieinander liegen, so dass dann diese Differenz für mindestens ein [mm] \epsilon [/mm] größer sein müssen als dieses...und das wäre ja für alle Epsilon <5 gegeben....
Wäre um einer Korrektur dankbar.
LG
Kroni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Fr 26.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni,
> Für eine Funktion gelte: zu jedem [mm]x_0[/mm] und jedem [mm]\epsilon>0[/mm]
> existiert ein [mm]\delta>0[/mm], so dass [mm]|f(x_o)-f(x)|<\epsilon[/mm] für
> alle x aus R, mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]
>
> Gesucht ist das logische Gegenteil.
> Hi,
>
> das ist ja die Formulierung für die Stetigkeit. Es wird
> ausgesagt, dass für jedes [mm]x_0[/mm] gilt, dass es ein unendlich
> viele x gibt, die sehr dicht bei [mm]x_0[/mm] liegen, so dass dann
> der Betrag der Differenz der Funktionswerte von x und [mm]x_0[/mm]
> sehr klein sind, sprich: f ist über Gesamt R stetig.
>
> Nun ist das logische Gegenteil gesucht.
>
> Ich behaupte, dass diese Funktion dann nicht über gesamt R
> stetig ist, wenn es mindestens ein [mm]x_0[/mm] gibt, so dass dann
> die Differenz der Funktionswerte von [mm]x_0[/mm] und x größer als
> ein [mm]\epsilon[/mm] sei.
Nicht ganz: der erste Teil ist OK: die Funktion ist nicht in ganz [mm]\IR[/mm] stetig, wenn sie in mindestens einem Punkt [mm]x_0[/mm] nicht stetig ist, wenn es also ein [mm]x_0[/mm] gibt, sodass für mindestens ein gegebenes [mm]\epsilon[/mm] kein passendes [mm]\delta[/mm] gefunden werden kann, dass also für beliebig große [mm]\delta[/mm] die Differenz der Funktionswerte von [mm]x_0[/mm] und x größer als [mm]\epsilon[/mm] ist, egal wie weit [mm]x_0[/mm] und [mm]x[/mm] auseinanderliegen (max Abstand ist ja [mm]\delta[/mm].
> Also die Formuliereung wäre dann diese:
>
> Zu (mindestens) einem [mm]x_0[/mm] und (muss das und hier auch zu
> einem oder umgekehrt werden?) einem [mm]$\epsilon$>0[/mm] existiert
> ein [mm]$\delta>0$,[/mm] so dass [mm]$|f(x_o)-f(x)|>\epsilon$[/mm] für
> mindestens ein x aus R mit [mm]$|x-x_0$<\delta$.[/mm]
Stimmt nicht ganz. Schreib dir die Bedingung etwas besser auf:
Für jedes [mm]x_0[/mm] gilt:
Für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] gilt:
Es gibt ein [mm]\delta>0[/mm]:
Es gilt die Eigenschaft [mm]E(x_0,\epsilon,\delta)[/mm]
(Die Eigenschaft [mm]E(x_0,\epsilon,\delta)[/mm] bedeutet:
[mm]|f(x_0)-f(x)|<\epsilon[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm], also:
Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] gilt:
[mm]|f(x_0)-f(x)|<\epsilon[/mm]
)
Jetzt kannst du die Aussage schrittweise negieren: im ersten Schritt negierst du die äußere Form:
Es gibt ein [mm]x_0[/mm], sodass nicht gilt:
Für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] gilt:
Es gibt ein [mm]\delta>0[/mm]:
Es gilt die Eigenschaft [mm]E(x_0,\epsilon,\delta)[/mm]
Damit ist die Negation eine Stufe nach innen gewandert, das wendest du wieder an:
Es gibt ein [mm]x_0[/mm], sodass gilt:
Es gibt ein [mm]\epsilon>0[/mm], sodass nicht gilt:
Es gibt ein [mm]\delta>0[/mm]:
Es gilt die Eigenschaft [mm]E(x_0,\epsilon,\delta)[/mm]
Es gibt ein [mm]x_0[/mm], sodass gilt:
Es gibt ein [mm]\epsilon>0[/mm], sodass gilt:
Es gibt kein [mm]\delta>0[/mm]:
Es gilt die Eigenschaft [mm]E(x_0,\epsilon,\delta)[/mm]
Es gibt ein [mm]x_0[/mm], sodass gilt:
Es gibt ein [mm]\epsilon>0[/mm], sodass gilt:
Für alle [mm]\delta>0[/mm] gilt:
Es gilt nicht die Eigenschaft [mm]E(x_0,\epsilon,\delta)[/mm]
Jetzt setze ich die Eigenschaft E wieder ein:
Es gibt ein [mm]x_0[/mm], sodass gilt:
Es gibt ein [mm]\epsilon>0[/mm], sodass gilt:
Für alle [mm]\delta>0[/mm] gilt:
Es gilt nicht:
Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] gilt:
[mm]|f(x_0)-f(x)|<\epsilon[/mm]
Es gibt ein [mm]x_0[/mm], sodass gilt:
Es gibt ein [mm]\epsilon>0[/mm], sodass gilt:
Für alle [mm]\delta>0[/mm] gilt:
Es gibt mindestens ein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm], sodass nicht gilt:
[mm]|f(x_0)-f(x)|<\epsilon[/mm]
Es gibt ein [mm]x_0[/mm], sodass gilt:
Es gibt ein [mm]\epsilon>0[/mm], sodass gilt:
Für alle [mm]\delta>0[/mm] gilt:
Es gibt mindestens ein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm], sodass gilt:
[mm]|f(x_0)-f(x)|\ge\epsilon[/mm]
Also ist die Funktion f nicht stetig, wenn es ein [mm]x_0[/mm] und ein [mm]\epsilon>0[/mm] gibt, sodass es für alle [mm]\delta>0[/mm] mindestens ein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] gibt, sodass [mm]|f(x_0)-f(x)|\ge\epsilon[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Kroni |
Hallo Rainer,
danke für deine ausführliche Antwort =)
Das ist ein Schema, das man immer anwenden kann...und so ist das Negieren ja nicht so das Problem =)
Mein Problem war, dass ich nicht zu 100% wusste, was man wo und wie negieren muss, aber dein Schema macht das ganze sehr einleuchtend=)
Vielen Dank,
LG
Kroni
|
|
|
|
