Nebenklassen,alternierende Gr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mo 17.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei [mm] A_n :=\{\sigma \in S_n | \sigma ist gerade\}, [/mm] die alternierende Gruppe.
ZZ.: [mm] |A_n| [/mm] = [mm] \frac{n!}{2} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 |
Hallo,
Ich hab das so gemacht indem ich gezeigt habe [mm] U_n=\{\sigma \in S_n| sgn(\sigma)=-1\} [/mm] ist gleichmächtig zur [mm] A_n. [/mm] Und damit gezeigt, dass es genauso viele geraden und ungeraden Permutationen gibt. Da [mm] |S_n|=n! [/mm] ist, folgt das zuZeigende.
Nun hab ich aber einen elganteren Beweis gefunden, der den Satz von Lagrange anwendet:
[mm] n!=|S_n|=|S_n/A_n| *|A|=2|A_n|
[/mm]
Nun hab ich mich gefragt warum [mm] gilt:|S_n/A_n|=2
[/mm]
Also warum die Kardinalität der Menge der Nebenklassen 2 ist.
Die Nebenklasse von [mm] \sigma \in S_N [/mm] siehst so aus: [mm] \sigma \circ A_n=\{\sigma \circ \omega|\omega \in A_n\}
[/mm]
Wenn [mm] \sigma [/mm] gerade ist entspricht das der [mm] A_n.
[/mm]
Wenn [mm] \sigma [/mm] ungerade ist entspricht die Nebenklasse [mm] U_n.
[/mm]
[mm] S_n/A_n [/mm] = [mm] \{A_n, U_n\}
[/mm]
Stimmt das?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, so kann man das machen. Du kannst auch folgendes betrachten:
[mm] $\text{sgn}:S_n\rightarrow \{1,-1, \cdot\}\cong\IZ/2\IZ$ [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern ist gerade [mm] $A_n$. [/mm] Nach dem Homomorphiesatz gilt dann [mm] $S_n/A_n\cong \IZ/2\IZ$, [/mm] also [mm] $|S_n/A_n|=|\IZ/2\IZ|=2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Di 18.11.2014 | | Autor: | sissile |
> Hi!
>
> Ja, so kann man das machen. Du kannst auch folgendes
> betrachten:
> [mm]\text{sgn}:S_n\rightarrow \{1,-1, \cdot\}\cong\IZ/2\IZ[/mm] ist
> ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern ist gerade [mm]A_n[/mm]. Nach
> dem Homomorphiesatz gilt dann [mm]S_n/A_n\cong \IZ/2\IZ[/mm], also
> [mm]|S_n/A_n|=|\IZ/2\IZ|=2[/mm].
Ach, das ist natürlich wesentlich eleganter ;)
Sehr schön,danke!
LG,
sissi
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