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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:55 So 01.02.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe und [mm] $H\subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe. Zeigen Sie, dass H ein Normalteiler in G ist, wenn $[G:H]=2$ gilt. |
Hi, ich habe eine kurze Frage zu dieser Aufgabe.
Die Lösung liegt mir vor und mir ist nur eines nicht ganz klar.
Zu zeigen ist ja, dass [mm] $gHg^{-1}\subseteq [/mm] H$ gilt.
Nun wählt man [mm] $g\in [/mm] G$ beliebig. Für den Fall, dass [mm] $g\in [/mm] H$ ist die Aussage trivial. Warum ist so? Das ist doch einfach die Abgeschlossenheit der Untergruppe bezüglich der Verknüpfung?
In der Lösung heißt es nun: Wenn [mm] $g\notin [/mm] H$, gilt wegen $[G:H]=2$, dass [mm] $G=H\cup [/mm] gH$.
Mir ist nicht klar, wieso das gilt.
Also [mm] $[G:H]=2=|G/H|=|\{gH|g\in G\}|$
[/mm]
Man kann Nebenklassen doch als sowas wie Äquivalenzklassen verstehen, oder?
Also damit meine ich, dass Links und Rechtsnebenklassen paarweise disjunkt sind und die Gruppe partitionieren?
Weil der Index [G:H]=2 ist, gibt es zwei Linksnebenklassen. Wieso ist dann aber bereits [mm] $G=H\cup [/mm] gH$?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:37 So 01.02.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
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> Weil der Index [G:H]=2 ist, gibt es zwei Linksnebenklassen.
> Wieso ist dann aber bereits [mm]G=H\cup gH[/mm]?
>
Es gibt nicht mindestens 2 Linksnebenklassen, sondern genau 2 Linksnebenklassen. Das bedeutet aber, daß die Aussage in deiner Frage gilt: Jedes h [mm] \in [/mm] G liegt (entweder) in der einen Nebenklasse G = eG oder in der anderen hG.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:17 Mo 02.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Warum sind die Nebenklassen eG und hG?
Müssten es nicht eH und gH sein? Dann würde es für mich mehr Sinn machen.
Es gibt zwei Nebenklassen, also [mm] $g_1, g_2\in [/mm] G$ so, dass [mm] $g_1H\cup [/mm] g_2H=G$ gilt.
Warum gilt nun schon für [mm] $g_1$ [/mm] oder [mm] $g_2$, [/mm] dass es gleich $e$ ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:15 Mo 02.02.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Warum sind die Nebenklassen eG und hG?
> Müssten es nicht eH und gH sein? Dann würde es für mich
> mehr Sinn machen.
Ja natürlich, Buchstabendreher.
>
> Es gibt zwei Nebenklassen, also [mm]g_1, g_2\in G[/mm] so, dass
> [mm]g_1H\cup g_2H=G[/mm] gilt.
> Warum gilt nun schon für [mm]g_1[/mm] oder [mm]g_2[/mm], dass es gleich [mm]e[/mm]
> ist?
Die Vertreter müssen nicht gleich sein, die von ihnen vertretenen Nebenklassen sind gleich: $g_1H = eH [mm] \gdw g_1 \in [/mm] H$
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:54 Mo 02.02.2015 | | Autor: | YuSul |
> Die Vertreter müssen nicht gleich sein, die von ihnen
> vertretenen Nebenklassen sind gleich: [mm]g_1H = eH \gdw g_1 \in H[/mm]
Ja, diese Folgerung ist mir bekannt.
Aber ich sehe leider immer noch nicht wieso aus [G:H]=2 folgt, dass
[mm] $G=H\cup [/mm] gH$ ist.
Spielt es überhaupt eine Rolle? Ich hätte ja auch genau so gut
[mm] $G=g_1H\cup [/mm] g_2H$ schreiben können.
Warum ich jetzt genau sagen kann, dass eines dieser g ausgerechnet das Neutralelement ist, ist mir leider immer noch nicht so recht klar... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Mo 02.02.2015 | | Autor: | hippias |
> > Die Vertreter müssen nicht gleich sein, die von ihnen
> > vertretenen Nebenklassen sind gleich: [mm]g_1H = eH \gdw g_1 \in H[/mm]
>
> Ja, diese Folgerung ist mir bekannt.
> Aber ich sehe leider immer noch nicht wieso aus [G:H]=2
> folgt, dass
>
> [mm]G=H\cup gH[/mm] ist.
>
> Spielt es überhaupt eine Rolle? Ich hätte ja auch genau
> so gut
>
> [mm]G=g_1H\cup g_2H[/mm] schreiben können.
Ja.
>
> Warum ich jetzt genau sagen kann, dass eines dieser g
> ausgerechnet das Neutralelement ist, ist mir leider immer
> noch nicht so recht klar... :(
Die einzige Nebenklasse, die Elemente aus $H$ enthaelt ist die Nebenklasse $H$. Es gilt [mm] $g_{1}H= [/mm] H$, falls [mm] $g_{1}\in [/mm] H$.
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