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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Stammfunktionen.
a) 1/x
b) 1/x+2
c)2/(4*x+1) |
Hallo,
ich habe die Aufgabe wie folgt berechnet:
a) F(x) = lnx
b) F(x) = 2*ln(x)
bei c) würde ich spontan sagen F(x)=2*(4*x+1); allerdings stimmt das nicht. Denn da kommt raus: 1/2*ln(4*x+1).
Und das verstehe ich nicht so ganz, denn
1. wieso wird die 4 vor dem x aufeinmal berücksichtigt, wohingegen es bei b) nicht berücksichtigt wird. Die Stammfunktion zu b) könnte auch 2*ln(3*x) lauten, da hier die 3 nicht berücksicht wird.
2.) wies rechnet man 1/2*4 um den Zähler 2 zu erhalten.
Danke.
LG
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Hallo,
a) ist korrekt. Aber wie kommst du auf die Lösung von b)? Da stimmt was nicht.
Werde mich im Folgenden auf diese Aufgabe beziehen: [mm] f(x)=\frac{1}{x+2}
[/mm]
Du wirst wohl kaum um eine Substitution herum kommen.
Als Lösung erhält man [mm] F(x)=\ln(|x+2|).
[/mm]
In gleicher Weise ist Teilaufgabe c) zu lösen.
Viel Erfolg,
[mm] \pi-\mathrm{Roland.}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Mathics |
Ah ok! Ja habe mich vertippt.
b) 1*ln(1*x+2)
c) 1/2*ln(4*x+2)
Bei der Ableitung ergibt sich also der Zähler, indem man die Zahl vor dem x mit der Zahl vor dem ln multipliziert. Aber wieso wird dies nicht berücksichtigt wenn mann, die Stammfunktion zu 2/x bildet. Diese lauter sowohl 2*ln(x) als auch 2*ln(2*x) oder 2*ln(3*x). Wieso wird hier die Zahl vor dem ln nicht mit dem Faktor vor x multipliziert. Wieso gilt das nur, wenn steht"x+2" etc. ?
Danke.
LG
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Hallo,
so wird leider nicht gerechnet.
Man muss substituieren. Leider weiß ich nicht, ob du das schon gelernt hast, bzw. wie ihr das gelernt hattet. In der Schule wird manchmal eine vereinfachte Version der Subtitution gelehrt, bei der der Zähler die Ableitung des Nenners ist. Das wäre ja hier der Fall. Vielleicht findest du ja etwas in deinen Aufzeichnungen zu dem Thema.
> Ah ok! Ja habe mich vertippt.
>
> b) 1*ln(1*x+2)
Das ist jetzt wahrcheinlich deine Stammfunktion und nicht die Aufgabe. Mit der Lösung bin ich fast einverstanden. Es fehlen noch die Betragsstriche. (Ist hier im Forum vielleicht nicht ganz so wichtig, aber in deinen Aufzeichnungen solltest du die nicht weg lassen.)
> c) 1/2*ln(4*x+2)
Auch das ist die Stammfunktion. Wieder korrekt.
> Bei der Ableitung ergibt sich also der Zähler, indem man
> die Zahl vor dem x mit der Zahl vor dem ln multipliziert.
> Aber wieso wird dies nicht berücksichtigt wenn mann, die
> Stammfunktion zu 2/x bildet. Diese lauter sowohl 2*ln(x)
> als auch 2*ln(2*x) oder 2*ln(3*x).
Die drei von dir genannten Funktionen sind alle Stammfunktionen, weil die Logarithmusfunktion eine recht bemerkenswerte Funktion ist.
Es gilt: [mm] \ln(2x)=\ln(x)+\ln(2)
[/mm]
Wie du siehst, ist die Stammfunktion [mm] \ln(2x) [/mm] als Logarithmusfunktion mit addierter Konstante schreibbar. Diese Konstante [mm] (\ln(2)) [/mm] fällt natürlich bei der Ableitung wieder weg. Daher sind alle deine genannten Funktionen Stammfunktionen von [mm] f(x)=\frac{2}{x}.
[/mm]
> Wieso wird hier die Zahl
> vor dem ln nicht mit dem Faktor vor x multipliziert. Wieso
> gilt das nur, wenn steht"x+2" etc. ?
Wie gesagt handelt es sich um spezielle Funktionen, deren Zähler die Ableitung vom Nenner ist. Bei der Aufgabe c) ist das ursprünglich nicht der Fall, weshalb der Nenner verändert werden musste. Das abschließende Rückgängigmachen erzeugt den sonderbaren Faktor.
Etwas konkreter:
[mm] \f(x)=\frac{2}{4x+1}
[/mm]
Die Ableitung des Nenners ist aber nicht 2 sondern 4. Daher multipliziert man erstmal mit 2. Es entsteht eine neue Funktion: [mm] \frac{4}{4x+1}
[/mm]
Deren Stammfunktion ist [mm] \ln(|4x+1|). [/mm] Nun muss man wieder durch 2 dividieren und erhält die Stammfunktion von f(x):
[mm] F(x)=\frac{\ln(|4x+1|)}{2}
[/mm]
Bei weiteren Unklarheiten bitte nochmal nachfragen. Doch wie gesagt, vermute ich eine Fehlinterpretation der Integrationsregeln deinerseits.
Mit freundlichen Grüßen,
[mm] \pi\mathrm{-Roland.}
[/mm]
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