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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zum natürlichen Epimorphismus:
Die Definition besagt, dass man von einem Vektorraum V auf dessen Restklassen nach U abbildet, also folgendermaßen:
[mm] \nu [/mm] : V [mm] \to [/mm] V/U : X [mm] \mapsto [/mm] X +U
Die zugehörige Kongruenz ist folgendermaßen definiert:
X [mm] \sim [/mm] Y genau dann, wenn X - Y [mm] \in [/mm] U, U sei Teilraum von V und X, Y [mm] \in [/mm] V
Soweit, so gut. Daraus wird nun aber geschlossen, dass gilt:
Kern [mm] (\nu) [/mm] = U
Diesen letzten Schritt verstehe ich nicht, warum gilt das? Ist das einfach per Definition so, dass man also Kern [mm] (\nu) [/mm] einfach als Teilraum wählt?
Für jegliche Hilfe im Voraus schonmal vielen Dank.
Gruß, Kai
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
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> ich habe eine Frage zum natürlichen Epimorphismus:
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> Die Definition besagt, dass man von einem Vektorraum V auf
> dessen Restklassen nach U abbildet, also folgendermaßen:
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> [mm]\nu[/mm] : V [mm]\to[/mm] V/U : X [mm]\mapsto[/mm] X +U
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> Die zugehörige Kongruenz ist folgendermaßen definiert:
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> x [mm]\sim[/mm] y genau dann, wenn x - y [mm]\in[/mm] U, U sei Teilraum von V
> und x, y [mm]\in[/mm] V
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> Soweit, so gut. Daraus wird nun aber geschlossen, dass
> gilt:
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> Kern [mm](\nu)[/mm] = U
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> Diesen letzten Schritt verstehe ich nicht, warum gilt das?
> Ist das einfach per Definition so, dass man also Kern [mm](\nu)[/mm]
> einfach als Teilraum wählt?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Im Kern der Abbildung [mm] \nu [/mm] sind alle Elemente enthalten, die auf die Null in V/U abgebildet werden,
also [mm] x\in Kern(\nu) [/mm] <==> [mm] \nu(x)=0_{V/U}.
[/mm]
Nach Def. v. [mm] \nu [/mm] ist das gleichbedeutend mit
[mm] x+U=0_{V/U}.
[/mm]
Überlege Dir nun, welches die Null in V/U ist und was das für das x bedeutet.
Gruß v. Angela
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Erst einmal Danke für die Antwort und die nette Begrüßung.
Ich habe mir nun Gedanken gemacht, aber komme nicht wirklich weiter.
Ist [0] vielleicht das Nullelement in V/U?
Daraus würde dann folgen dass X = Y gelten müsste, damit X und Y in einer Äquivalenzklasse liegen.
Hatte zwischendurch auch den Gedanken, dass U selbst das Nullelement ist. Aber irgendwie hänge ich an diesem nat. Epimorphismus fest. und komme nicht weiter.
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> Hatte zwischendurch auch den Gedanken, dass U selbst das
> Nullelement ist. Aber irgendwie hänge ich an diesem nat.
> Epimorphismus fest. und komme nicht weiter.
Hallo,
da hat Dich zwischendurch der richtige Gedanke gestreift.
Schau Dir nochmal den Raum V/U an.
Da drin enthalten sind sämtliche Elemente der Gestalt v+U mit [mm] v\in [/mm] V.
Wenn Du Dir nun ansiehst, wie v+U definiert ist, wirst Du sehen, daß [mm] 0_v+U=U [/mm] für alle [mm] u\in [/mm] U gilt, und wenn Du die Addition im VR V/U betrachtest, siehst Du leicht ein, daß [mm] (v+U)+U=(v+U)+(0_v+U)=(v+0_V)+U=v+U [/mm] richtig ist für alle [mm] v\in [/mm] V.
Es ist also tätsächlich U das neutrale Element in V/U.
Nun kann's losgehen.
Du willst nun zeigen, daß [mm] Kern(\nu)=U [/mm] gilt.
Ich denke, daß Du [mm] U\subseteq Kern(\nu) [/mm] leicht hinbekommst.
Nimm Dir ein [mm] u\in [/mm] U und berechne [mm] \nu(u).
[/mm]
Nun die andere Richtung.
Sei [mm] x\in Kern\nu.
[/mm]
Dann ist [mm] 0_{V/U}=\nu(x)=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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1) Sei u [mm] \in [/mm] U beliebig.
v(u) = u + U = U = v(Kern(v)) [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] Kern(v)
2) Sei x [mm] \in [/mm] Kern(v)
v(x) = U = U + U = v(U) [mm] \Rightarrow [/mm] Kern(v) [mm] \subseteq [/mm] U
Ist das so okay?
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> 1) Sei u [mm]\in[/mm] U beliebig.
>
> v(u) = u + U = U = [mm] 0_{V/U}[s]v(Kern(v))[/s] [/mm]
==> [mm] u\in Kern(\nu).
[/mm]
Also ist
> U [mm]\subseteq[/mm] Kern(v)
>
> 2) Sei x [mm]\in[/mm] Kern(v)
>
> v(x) = U
==> [mm] x+U=U=0_V+U
[/mm]
(Jetzt muß man etwas über die Gleichheit v. Restklassen wissen, das hattet Ihr bestimmt: a+U=b+U <==> [mm] a-b\in [/mm] U.)
Also folgt ???
Gruß v. Angela
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Ahja, nun habe ich es denke ich verstanden.
Daraus folgt nun:
x - [mm] 0_V \in [/mm] U [mm] \rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] U
Da x aus Kern(v) gewählt wurde, gilt Kern(v) [mm] \in [/mm] U.
Was mach ich an der ganzen Sache noch wundert ist, dass Kern(v) = U bei uns im Skript als "klar" deklariert wurde. Gibt es da denn eine einfache Intuition hinter? Wenn man den Beweis einmal verstanden hat ist das natürlich "klar", aber ohne diese Herleitung hätte ich mir das nicht einfach erschließen können.
Und natürlich einen riesen Dank für die nette Unterstützung ;)
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> Ahja, nun habe ich es denke ich verstanden.
>
> Daraus folgt nun:
>
> x - [mm]0_V \in[/mm] U [mm]\rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] U
>
> Da x aus Kern(v) gewählt wurde, gilt Kern(v) [mm]\in[/mm] U.
[mm] Kern(\nu)\subseteq [/mm] U. Teilmenge.
> Was mach ich an der ganzen Sache noch wundert ist, dass
> Kern(v) = U bei uns im Skript als "klar" deklariert wurde.
> Gibt es da denn eine einfache Intuition hinter? Wenn man
> den Beweis einmal verstanden hat ist das natürlich "klar",
> aber ohne diese Herleitung hätte ich mir das nicht einfach
> erschließen können.
Tja, was Deinen Chefs und Dir selbst klar ist, dürfte öfter differieren...
Ich denke, wenn im Skript steht "Klar", ist das zu lesen als: wenn der Student die Begriffe verstanden hat, kann er es als kleine Übung zu Hause mal beweisen, die Erfolgsaussichten sind gut.
Die Aussage ist in der Tat so, daß sie klar ist, wenn man den Raum V/U und diesen natürlichen Epimorphismus richtig verstanden hat. Du merkst es ja selbst schon ein bißchen.
> Und natürlich einen riesen Dank für die nette Unterstützung
> ;)
Gern geschehen und
Gruß v. Angela
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