Natürliche Zahlen\ Primzahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | BEstimme diejenigen natürlichen Zahlen, für die die Anzahl der positiven, relativen Primzahlen [mm] \le [/mm] n genau n/3 ist. |
Hallo, ich habe leider keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Kann mir da jemand helfen?
VIelen Dank schon mal im Voraus, liebe Grüße Tanja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Tanja!
> BEstimme diejenigen natürlichen Zahlen, für die die Anzahl
> der positiven, relativen Primzahlen [mm]\le[/mm] n genau n/3 ist.
> Hallo, ich habe leider keine Ahnung, wie ich an diese
> Aufgabe rangehen soll. Kann mir da jemand helfen?
Was sind denn relative Primzahlen? Meinst du damit alle positiven Zahlen [mm] $\le [/mm] n$, die teilerfremd zu $n$ sind? Wenn ja, ist die Anzahl gerade [mm] $\phi(n)$, [/mm] die Eulersche [mm] $\phi$-Funktion [/mm] von $n$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Tanja1985 |
Hi gute frage was mit relativen primzahlen gemeint ist so steht das in der Aufgabe? wie genau kann ich das denn dann begründen, dass die eulersche funktion die lösung ist?
lg tanja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mi 16.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Also ich nehme mal an, dass die aufgabe lautet die folgende gleichung zu lösen
[mm] \phi(n)=\bruch{n}{3} [/mm] mit [mm] \phi(n) [/mm] Eulersche Phi-Funktion (1)
es gilt
1. [mm] \phi(n) [/mm] ist stets gerade, natürliche Zahl
2. aus Gleichung folgt, n ist durch 3teilbar
sei [mm] n=\produkt_{i=1}^{k}p_{i}^{k_{i}} [/mm] die Primfaktorenzerlegung von n
dann ist ja [mm] \phi(n)=n*\produkt_{i=1}^{k}(1-\bruch{1}{p_{i}}) [/mm]
da nach 1. und 2. 2 und drei als Primfaktoren von n auftreten
[mm] \phi(n)=n*\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*\produkt_{i=1,p_{i}\not=2,3}^{k}(1-\bruch{1}{p_{i}}) [/mm]
daher ist die Gleichung (1)
[mm] \bruch{n}{3}*\produkt_{i=1,p_{i}\not=2,3}^{k}(1-\bruch{1}{p_{i}}) [/mm] = [mm] \bruch{n}{3}
[/mm]
daher muss das vorkommende Produkt=1 sein, was bedeutet, da jeder Faktor kleiner 1 wäre, dass kein Faktor und somit keine weitere Primzahl in n vorkommen darf
Lösung: n= [mm] 2^k*3^m [/mm] mit natürlichen k,m erfüllen die Gleichung
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