Namensgebung des Dualraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Fr 13.06.2008 | | Autor: | JakobL |
Nabend allerseits,
ich bin grade dabei mich auf eine LA II Klausur vorzubereiten und nehme grade den Dualraum durch. Mir ist eigentlich klar, was ein Dualraum ist, nur die Namensgebung ist mir unklar. Ich kann an dem Raum bzw den Elementen die ihn bilden einfach nichts duales erkennen. Es ist halt der Raum der Abbildungen zwischen _zwei_ Vektorräumen, aber das tun doch nunmal alle linearen Abbildungen!? Jemand eine Idee woher die Bezeichnung stammt? Habe auch schon den Wikipedia-Artikel durchgelesen und nichts gefunden.
Beste Grüße
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Hallo,
ich weiß natürlich nicht, wieviel Ihr mit den Dualräumen gemacht habt.
Aber es ist doch schon am Anfang klar, daß der Dualraum zu einem VR V ziemlich viel mit dem VR V zu tun hat.
Die beiden haben dieselbe Dimension, und Du weißt sicher, wie Du aus einer Basis von V eine Basis von D(V) bzw. [mm] V^{/*} [/mm] erhalten kannst.
Oder schau Dir den zu f transponierten/dualen Homomorphismus an. Seine Darstellungsmatrix bzgl. der zur Basis B von V dualen Basis ist die Transponierte der darstellenden Matrix v. f bzgl. V.
Gruß v. Angela
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"Es ist halt der Raum der Abbildungen zwischen _zwei_ Vektorräumen"
Ich glaub, das ist nicht ganz richtig. (Oder ich steh grad auf dem Schlauch.)
Der Dualraum eines VR/K ist die Menge aller linearen Funktionale f: V -> K. K muss aber kein Vektorraum sein. Also um einen Dualraum zu bekommen, bildest du die Vektoren deines Raumes auf den Grundkörper des VR ab.
Warum der Dualraum so heisst, kann ich nicht sicher sagen, aber meine Theorie ist, dass es was damit zu tun hat:
Seien V und W Vektorräume über dem selben Körper, f eine lineare Funktion von V auf W, so ist die duale Abbildung f*: V* -> W* . Und jetzt gilt die wunderschöne Eigenschaft: Ist M die Abbildungsmatrix von f, so ist [mm] M^{T} [/mm] die Abbildungsmatrix von f*.
Also keine Ahnung, ob das "dual" von so einer Eigenschaft her kommt, aber ich finds plausibel.
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> "Es ist halt der Raum der Abbildungen zwischen _zwei_
> Vektorräumen"
> Ich glaub, das ist nicht ganz richtig. (Oder ich steh grad
> auf dem Schlauch.)
> Der Dualraum eines VR/K ist die Menge aller linearen
> Funktionale f: V -> K. K muss aber kein Vektorraum sein.
> Also um einen Dualraum zu bekommen, bildest du die Vektoren
> deines Raumes auf den Grundkörper des VR ab.
Hallo,
wie Du richtig sagst, enthält der Dualraum von V alle linearen Abbildungen von V in den Grundkörper K.
Diesen Körper kann man als VR über K auffassen, meist zeigt man das auch irgendwann mal in Vorlesung oder Übung, und insofern hat JakobL. völlig recht damit, daß es sich um Abbildungen zwischen zwei VR handelt.
Gruß v. Angela
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