Nähergs.verf. mit Heron < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | [mm] x_n [/mm] + [mm] y_n [/mm]
[mm] x_n [/mm] + 1 = Bruchstrich
2
ich bitte wegen der Darstellg. um Vergebung |
Kann mir eine(r) erklären
die rechte Seite der Gleichg. sieht nach arythmet. Mittel aus,
aber wieso steht links plus 1?
Kann mir jmd. diese Gleichg. im Zus.hang mit Heron erkären?
Vielleicht muss ich auch nur wissen, was [mm] x_n [/mm] sein soll.
[mm] y_n [/mm] gilt dann wohl entsprechend.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 15.02.2009 | | Autor: | glie |
> [mm]x_n[/mm] + [mm]y_n[/mm]
> [mm]x_n[/mm] + 1 = Bruchstrich
> 2
>
> ich bitte wegen der Darstellg. um Vergebung
> Kann mir eine(r) erklären
> die rechte Seite der Gleichg. sieht nach arythmet. Mittel
> aus,
> aber wieso steht links plus 1?
Das muss [mm] x_{n+1} [/mm] heissen...Erklärung siehe unten
>
> Kann mir jmd. diese Gleichg. im Zus.hang mit Heron
> erkären?
> Vielleicht muss ich auch nur wissen, was [mm]x_n[/mm] sein soll.
> [mm]y_n[/mm] gilt dann wohl entsprechend.
Hallo,
also was du mit dem Heron-Verfahren bezweckst, ist hoffentlich klar:
Du möchtest eine Näherung für die Wurzel aus einer positiven Zahl berechnen.
Lass es uns am Beispiel [mm] \wurzel{15} [/mm] durchgehen.
Die Wurzel aus 15 ist diejenige positive Zahl, die quadriert 15 ergibt.
Geometrisch gesehen ist [mm] \wurzel{15} [/mm] also die Seitenlänge eines Quadrates der Fläche 15.
Und diesem Quadrat nähern wir uns nun über Rechtecke gleichen Flächeninhalts an.
Wählen wir als erstes Rechteck ein Rechteck der Länge [mm] x_{1}=5 [/mm] mit Flächeninhalt 15.
Dann erhalten wir als zugehörige Breite [mm] y_{1}=\bruch{15}{x_{1}}=3
[/mm]
Für die Länge [mm] x_{2} [/mm] unseres zweiten Rechtecks wählen wir nun den Mittelwert aus Länge und Breite des ersten Recktecks (wir wollen ja immer "quadratähnlicher" werden). Es ergibt sich
[mm] x_2=\bruch{x_{1}+y_{1}}{2}=\bruch{5+3}{2}=4
[/mm]
Für die Breite [mm] y_{2} [/mm] unseres zweiten Recktecks erhalten wir dann
[mm] y_{2}=\bruch{15}{x_{2}}=\bruch{15}{4}=3,75
[/mm]
So jetzt sollte so langsam das Prinzip klar sein, denn so machen wir jetzt immer weiter....
Allgemein formuliert erhältst du für a>0 folgende rekursiv definierte, gegen [mm] \wurzel{a} [/mm] konvergierende Folge:
[mm] x_{n+1}=\bruch{x_{n}+\bruch{a}{x_{n}}}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 So 15.02.2009 | | Autor: | Giraffe |
whow,
auch noch diese Korrektur von Index in Summe.
Ich habe mir nun alles ausgedruckt u. werde mich damit jetzt an den Schreibtisch setzen.
Mal schauen, was bei raus kommt.
Wie das Prinzip des Heronverf. funktioniert, das habe ich schon drauf, dann sollte das Verstehen
"der rekursiv definierten, gegen "Wurzel aus a" konvergierende Folge"
nicht mehr so schwer sein.
Auch für den Eingangssatz: "Hallo, also was du mit dem Heron-Verfahren bezweckst, ist hoffentlich klar: Du möchtest eine Näherung für die Wurzel aus einer positiven Zahl berechnen."
Ich hätte das "nur" mit 6 Sätzen erklären können.
Sehr schön aufm Punkt gebracht.
Und das Wort "positiv" hätte ich vergessen.
Danke dir vielmals.
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