Nachweis von Bijektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung f: [mm] \IN \times \IN \to \IN [/mm] mit f(k,l) = 2^(k) (2l + 1) - 1 bijektiv ist.
[mm] \IN [/mm] = [mm] \IN \cup [/mm] 0 |
Mir ist klar, dass ich für die Bijektivität zum einen Injektivität und Surjektivität zeigen muss. 1.) injektiv: wenn f(k,l) = f(m,n), dann (k,l) = (m,n). Jedoch bereiten mir hierbei die vier Variablen Probleme.
2.) surjektiv: für jedes x [mm] \in \IN [/mm] gibt es (k,l) [mm] \in \IN \times \IN [/mm] mit f(k,l) = x.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo Pflaume007,
> Zeigen Sie, dass die Abbildung f: [mm]\IN \times \IN \to \IN[/mm]
> mit f(k,l) = 2^(k) (2l + 1) - 1 bijektiv ist.
Ich weiß nicht, ob man hier mit den Standardmitteln loslegen muss. Es macht auf mich den Eindruck, als ob hier die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gefragt ist.
Wenn man auf der rechten Seite 1 addiert (die -1 ist scheinbar nur Nötig damit die 0 in der Bildmenge ist) hat man das Produkt aus einer Zweierpotenz und einer Ungeraden Zahl. Da die Primfaktorzerlegung jeder Zahl eindeutig ist, ist k festgelegt und die restliche ungerade (!) Zahl auch. Das muss man jetzt nur noch sauber aufschreiben. Es geht sicherlich auch mit dem Formalismus und den vier Variablen.
Gruß
pits
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich bin gerade im ersten Semester der Analysis, leider habe ich deshalb noch nichts von der Primfaktorenzerlegung gehört, obwohl es mir logisch erscheint.
Kann ich argumentieren, dass durch die Zweierpotenz und die ungerade Zahl alle Elemente der natürlichen Zahlen nur einmal getroffen werden können?
Oder können Sie mir helfen, wie man die Injektivität mit vier Variablen beweist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
> Ich bin gerade im ersten Semester der Analysis, leider habe
da war ich auch mal.
> Oder können Sie mir helfen, wie man die Injektivität mit
> vier Variablen beweist?
ruhig beim du bleiben
Ich kann es ja mal versuchen:
Sei $f(k,l,)=f(m,n)$, dann folgt daraus
[mm] $2^k \cdot (2l+1)-1=2^m\cdot(2n+1)-1 \\
[/mm]
[mm] \gdw 2^k \cdot (2l+1)=2^m\cdot(2n+1)$
[/mm]
Da sich jede Zahl eindeutig (!) in ein Produkt aus einer Zweierpotenz (und sei es auch [mm] $2^0$) [/mm] und einem ungeraden Rest zerlegen lässt, muss gelten [mm] $2^k=2^m \wedge [/mm] 2l+1=2n+1$ also k=m und l=n .
Das war die eine von den beiden Richtungen (ich glaube die Injektivität). Jetzt fehlt nur noch die Sujektivität.
Gruß
pits
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 So 14.10.2012 | | Autor: | Pflaume007 |
So, noch einmal ein großes Dankeschön, denn ich habe es jetzt verstanden und auch gerade eben die Surjektivität beweisen können. :)
Dir noch einen schönen Abend!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Danke für das Feedback! Dann hat es sich ja gelohnt, dass ich den halben Tatort nicht verstanden habe  Das hat auch mehr Spaß gemacht. Dir auch einen schönen Abend
|
|
|
|
