Nachweis einer SigmaAlg. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | X und Y nicht leere Mengen. $X [mm] \subset [/mm] Y$ und [mm] $\IB$ [/mm] eine Sigma Algebra auf Y.
Sei A$: [mm] \{X\cap B : B \in \IB \}$
[/mm]
Weisen Sie nach, dass A eine Sigma Algebra auf X ist.
Das A ist ein Schreibschrift A. |
Hallo.
Leider kann ich hier nicht viel zur Lösung beitragen, ich kenne nur die Definition
Ein System A(Schreibschrift) von Zeilmengen einer Menge [mm] \Omega [/mm] ist eine Sigmaalgebra, wenn
1) [mm] \Omega \in [/mm] A(Schreibschrift)
2) A [mm] \in [/mm] A (Schreibschrift) [mm] \Rightarrow A^C \in [/mm] A (Schreibschrift)
3) für jede Folge [mm] (A_n)_{n \in \IN} [/mm] von Mengen aus A (Schreibschrift) liegt [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] in A (Schreibschrift)
Ich habe hier im Matheraum auch kein Beispiel gefunden wo das so vorgerechnet wird. Könnt ihr mir bitte helfen?
Danke
Savo
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Du suchst nach der Spur einer [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
Zu 1): Skript-A muss nicht unbedingt ganz X umfassen. Dein [mm] \Omega [/mm] kann einfach als die Vereinigung aller Mengen von Skript-A definiert werden. Zu zeigen wäre vielleicht noch, dass das immer noch eine Teilmenge von X ist. 2) und 3) sollten sich durch Schnittbildung mit X aus den Regeln für [mm] \IB [/mm] ergeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Savoyen |
Hallo
> Zu 1): Skript-A muss nicht unbedingt ganz X umfassen. Dein
> [mm]\Omega[/mm] kann einfach als die Vereinigung aller Mengen von
> Skript-A definiert werden. Zu zeigen wäre vielleicht noch,
> dass das immer noch eine Teilmenge von X ist.
Das mit der Vereinigung hast du mir ja jetzt schon verraten. Ich bin mal so frech und frage
Wie schreibt man das denn? [mm] \Omega [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n?
[/mm]
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Das Problem ist: es müssen nicht unbedingt nur abzählbar viele Mengen sein, es könnten eben auch überabzählbar viele sein. Also eher so:
[mm]\Omega_{\mathcal{A}} = \bigcup_{A \in \mathcal{A}} A [/mm]
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