Nachweis der Assoziativität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Teradil |
| Aufgabe | Auf der Menge der ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] sei folgende Verknüpfung definiert:
a [mm] \times [/mm] b = [mm] (-1)^{a+b} \cdot [/mm] 2 + [mm] (-1)^b \cdot [/mm] a + [mm] (-1)^a \cdot [/mm] b
Man zeige, dass [mm] (\IZ, \times) [/mm] eine abelsche Gruppe ist. |
Ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt!
Ich hab da ein leichtes Problem mit den Gruppeneigenschaften, speziell eigentlich nur mit dem Assoziativgesetz:
Abgeschlossenheit ist kein Problem, da [mm] \forall [/mm] a, b [mm] \in \IZ [/mm] : a [mm] \times [/mm] b = c [mm] \in \IZ [/mm] gilt.
Dass das Kommutativgesetz gilt, ist noch recht einfach ersichtlich.
Neutrales Element müsste -2 sein, womit das inverse sich dann wie folgt berechnet:
a [mm] \times {\hat a} [/mm] = -2 = [mm] (-1)^{a+\hat a} \cdot [/mm] 2 + [mm] (-1)^{\hat a} \cdot [/mm] a + [mm] (-1)^a \cdot {\hat a}
[/mm]
a und [mm] {\hat a} [/mm] müssen das selbe Vorzeichen haben, denn hätten sie unterschiedliche Vorzeichen, so würde gelten (a gerade, [mm] {\hat a} [/mm] ungerade ):
-2 = -2 + [mm] {\hat a} [/mm] - a [mm] \rightarrow [/mm] a = [mm] {\hat a} [/mm] bzw. -2 = -2 - [mm] {\hat a} [/mm] + a [mm] \rightarrow [/mm] a = [mm] {\hat a} [/mm] jeweils im Widerspruch dazu, dass a und [mm] {\hat a} [/mm] unterschiedliche Reste bei Division mit 2 haben.
Wenn a und [mm] {\hat a} [/mm] als beide gerade (oder ungerade) sind, so ist
-2 = 2 + [mm] {\hat a} [/mm] + a [mm] \rightarrow {\hat a} [/mm] = -(4+a) ( bzw. -2 = 2 - [mm] {\hat a} [/mm] - a [mm] \rightarrow {\hat a} [/mm] = 4-a ).
Ich würde jetzt ja eigentlich gerne das Untergruppenkriterium anwenden, um mich vor dem Assoziativgesetz zu drücken:
(a) (M*, *) ist genau dann Untergruppe von G = (M, *), wenn [mm] \emptyset \ne [/mm] M* [mm] \subseteq [/mm] M gilt und [mm] \forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] M* auch a * [mm] b^{-1} \in [/mm] M* gilt.
Allerdings ist die Operation [mm] "\times" [/mm] in [mm] \IZ [/mm] ja nicht definiert... Sodass ich da nicht ohne weiteres schließen können dürfte. Gibt's irgendeinen schönen (einfachen, klaren) Weg, die Assoziativität zu zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Sa 05.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
Sollte doch möglichsein,
schon Probiert (a [mm] \times [/mm] b) [mm] \times [/mm] c = a [mm] \times [/mm] (b [mm] \times [/mm] c) einsetzen ausrechnen und dann sollte das gleiche raus kommen. So löst man die dochimmer, wenn es assoziativ ist, muss die Gleichung stimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Teradil |
Dass das so geht, ist mir schon klar... nur wenn du dir die Verkknüpfungsdefinition anguckst, kommen am Ende zwei sehr unterschiedliche Sachen mit doppelten Exponenten raus, die einfach nur häßlich sind... :-/ Deswegen die Frage, ob es evtl. auch einfacher gehen könnte...> Sollte doch möglichsein,
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Hallo,
hast Du es schonmal mit Fallunterscheidungen versucht, je nachdem, ob a,b,c gerade oder ungerade sind? Durchgerechnet habe ich's nicht, aber der Weg erscheint mir verheißungsvoll.
Gruß v. Angela
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