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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Nachweis:Isomorphie von Ringen
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Nachweis:Isomorphie von Ringen: aufgabestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Fr 10.10.2008
Autor: mathelernen

Aufgabe
Sei (R, + , [mm] \cdot [/mm] ) ein Ring. Für a, b [mm] \in [/mm] R werden neue Verknüfungen definiert durch
a [mm] \oplus [/mm] b = a + b - 1
a [mm] \odot [/mm] b = a + b - a [mm] \cdot [/mm] b

Zeige, dass (R, [mm] \oplus [/mm] , [mm] \odot) [/mm] ein Ring ist, der zu ( R, + , [mm] \cdot) [/mm] isomorph ist

da ich isomorphie zeigen will, muss ich zeigen, dass es eine bijektive abbildung bzw einen Ringisomorphismus zwischen beiden ringen gibt.

wie jedoch stelle ich das an?
sollte ich mir eine abbildung ausdenken und an dieser zeigen, dass sie bijektiv ist?
[Sei f: R1 -> R2 mit f(x) = ..... ]
wenn ja: wie sähe diese aus? ich habe schon ein wenig aber erfolglos gerätselt.

bitte helft

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Nachweis:Isomorphie von Ringen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Fr 10.10.2008
Autor: ArthurDayne

Hallo,

du sollst nicht nur zeigen, dass sie bijektiv ist, sie soll zusätzlich auch noch ein Morphismus von Ringen sein.
Betrachte mal f(x)=-x+1, das erscheint mir sinnvoll.

Bezug
                
Bezug
Nachweis:Isomorphie von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 Sa 11.10.2008
Autor: mathelernen

Danke für deine antwort,

ich habe nun an f(x)=x nachgewiesen, dass

(i)  f(x [mm] \oplus [/mm] y ) = f(x) + f(y)
(ii) f(x [mm] \odot [/mm] y ) = f(x) [mm] \cdot [/mm] f(y)

und

dass die abbildung bijektiv ist

aus diesen betrachtungen schließe ich, dass R1 isomorph zu R2 ist.

> Betrachte mal f(x)=-x+1, das erscheint mir sinnvoll.

wie bist du darauf gekommen? gibt es einen trick oder ein schema oder haste einfach gut geraten?


Bezug
                
Bezug
Nachweis:Isomorphie von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Sa 11.10.2008
Autor: mathelernen

Danke für deine antwort,

ich habe nun an f(x) = -x +1 nachgewiesen, dass

(i)  f(x [mm] \oplus [/mm] y ) = f(x) + f(y)
(ii) f(x [mm] \odot [/mm] y ) = f(x) [mm] \cdot [/mm] f(y)

und

dass die abbildung bijektiv ist

aus diesen betrachtungen schließe ich, dass R1 isomorph zu R2 ist.

> Betrachte mal f(x)=-x+1, das erscheint mir sinnvoll.

wie bist du darauf gekommen? gibt es einen trick oder ein schema oder haste einfach gut geraten?


Bezug
                        
Bezug
Nachweis:Isomorphie von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Sa 11.10.2008
Autor: ArthurDayne

Hi,

gut hingeschaut, was die neutralen Elemente angeht ;-)

Ich hatte übrigens f andersrum gemeint, aber hier klappt auch deine Richtung der Abbildung, da f zu sich selbst invers ist.

Du solltest noch dazusagen, dass das Bild eines Rings unter einem Ringhomomorphismus wieder ein Ring ist. Da es hier ein Isomorphismus ist, sind die Ringe isomorph.

Bezug
                                
Bezug
Nachweis:Isomorphie von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Sa 11.10.2008
Autor: mathelernen


> Hi,
>  
> gut hingeschaut, was die neutralen Elemente angeht ;-)
>  

mit diesem tipp kann ich nicht garzuviel anfangen.
die neutralen elemente von (R [mm] \oplus [/mm] , [mm] \odot [/mm] ) sind 1 bzgl [mm] \oplus [/mm] und 1 bzgl [mm] \odot [/mm] .

wie kommst du dadurch zu dem schluss f(x) = -x + 1 ??

Bezug
                                        
Bezug
Nachweis:Isomorphie von Ringen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Sa 11.10.2008
Autor: ArthurDayne

Die stimmen nicht. Eins davon muss 0 sein ;-) Überleg mal, auf was 1 (neutrales Element in $(R,+,*)$ ) abgebildet werden muss.
Außerdem kannte ich von irgendwoher noch den Isomorphismus zwischen Ringen mit ähnlich definierter Addition / Multiplikation, der war dem auch ähnlich.

Bezug
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